4.2.2 指数函数的图象和性质

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4.2.2 指数函数的图象和性质

下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数。首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质。

先从简单的函数 $y=2^{x}$ 开始.

请同学们完成 $x$ ， $y$ 的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数 $y = 2^{x}$ 的图象（图4.2-4）.

为了得到指数函数 $y=a^{x}(a>0$ ，且 $a\neq1$ 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.

探究

画出函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象，并与函数 $y = 2^x$ 的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数 $y = 2^x$ 的图象，画出函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象？

因为 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$，点 $(x, y)$ 与点 $(-x, y)$ 关于 $y$ 轴对称，所以函数 $y = 2^x$ 图象上任意一点 $P(x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $P_1(-x, y)$ 都在函数 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象上，反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数 $y = 2^x$ 的图象，画出 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的图象（图4.2-5）。

探究

选取底数 $a(a > 0$ ，且 $a\neq 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 $y = a^{x}(a > 0$ ，且 $a\neq 1)$ 的值域和性质吗？

如图4.2-6，选取底数 $a$ 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 $y = a^x$ 的图象按底数 $a$ 的取值，可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型。因此，指数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究。

一般地，指数函数的图象和性质如表 4.2-3 所示.

例 3 比较下列各题中两个值的大小:

(1) $1.7^{2.5}$ , $1.7^{3}$ ;

(2) $0.8^{-\sqrt{2}}$ ， $0.8^{-\sqrt{3}}$ ;

(3) $1.7^{0.3}$ ， $0.9^{3.1}$ .

分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3）， $1.7^{0.3}$ 和 $0.9^{3.1}$ 不能看作某一个指数函数的两个函数值。可以利用函数 $y = 1.7^{x}$ 和 $y = 0.9^{x}$ 的单调性，以及“ $x = 0$ 时， $y = 1$ ”这条性质把它们联系起来。

解：（1） $1.7^{2.5}$ 和 $1.7^{3}$ 可看作函数 $y=1.7^{x}$ 当 x 分别取 2.5 和 3 时所对应的两个函数值。因为底数 1.7>1，所以指数函数 $y=1.7^{x}$ 是增函数。

因为 2.5<3，所以 $1.7^{2.5}<1.7^{3}$ .

(2) 同（1）理，因为 0 < 0.8 < 1，所以指数函数 $y = 0.8^{x}$ 是减函数.

因为 $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$，所以 $0.8^{-\sqrt{2}} < 0.8^{-\sqrt{3}}$

(3) 由指数函数的性质知

$1. 7 ^ {0. 3} > 1. 7 ^ {0} = 1,$

$0. 9 ^ {3. 1} < 0. 9 ^ {0} = 1,$

所以 $1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}$.

例 4 如图 4.2-7，某城市人口呈指数增长.

● ●

由例 3 可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.

（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；

(2) 该城市人口从 80 万人开始，经过 20 年会增长到多少万人？

分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.

（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.

解：（1）观察图 4.2-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.

（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番。因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。

练习

1. 在同一直角坐标系中画出函数 $y = 3^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 的图象，并说明它们的关系.

2. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $6^{\sqrt{2}}$ , $7^{\sqrt{2}}$ ; (2) $0.3^{-3.5}$ , $0.3^{-2.3}$ ; (3) $1.2^{0.5}$ , $0.5^{1.2}$ .

3. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.

习题4.2

复习巩固

1. 求下列函数的定义域： (1) $y=2^{3-x}$ ; (2) $y=3^{2x+1}$ ; (3) $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{5x}$ ; (4) $y=0.7^{\frac{1}{x}}$ .

2. 一种产品原来的年产量是 $a$ 件，今后 $m$ 年内，计划使产量平均每年比上一年增加 $p\%$ ，写出年产量 $y$ （单位：件）关于经过的年数 $x$ 的函数解析式.

3. 比较满足下列条件的 m，n 的大小： (1) $2^{m}<2^{n}$ ; (2) $0.2^{m}<0.2^{n}$ ; (3) $a^{m}<a^{n}(0<a<1)$ ; (4) $a^{m}>a^{n}(a>1)$ .

4. 设函数 $f(x)=Q_{0}(1+r)^{x}$ ，且 $f(10)=20.23,\ f(11)=23.26.$ (1) 求函数 $f(x)$ 的增长率 r; (2) 求 $f(12)$ 的值.

综合运用

5. 求下列函数可能的一个解析式： (1) 函数 $f(x)$ 的数据如下表：

(2) 函数 $g(x)$ 的图象如下:

6. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $3^{0.8}$ , $3^{0.7}$ ; (2) $0.75^{-0.1}$ , $0.75^{0.1}$ ; (3) $1.01^{2.7}$ , $1.01^{3.5}$ ; (4) $0.99^{3.3}$ , $0.99^{4.5}$ .

7. 当死亡生物组织内碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了。如果死亡生物组织内的碳 14 经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳 14 吗？

8. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 $a$ （单位：元），每期利率为 $r$ ，本利和为 $y$ （单位：元），存期数为 $x$ （1）写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数解析式；(2）如果存入本金1000元，每期利率为 $2.25\%$ ，试计算5期后的本利和.

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息。我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄。

拓广探索

9. 已知函数 $y = a\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.

(1) 求该函数的解析式，并画出图象；

(2) 判断该函数的奇偶性和单调性.

10. 已知 $f(x) = a^x$，$g(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x (a > 0$，且 $a \neq 1)$，

(1) 讨论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的单调性.

(2) 如果 $f(x) < g(x)$ ，那么 x 的取值范围是多少？

信息技术应用

探究指数函数的性质

函数图象是研究函数性质和进一步理解其概念的重要载体。利用信息技术强大的作图以及对图象和数据的分析功能，例如函数图象的动态演示，引起图象变化的关键因素分析，图象的局部放大和缩小等，有利于我们观察函数的整体变化情况，并考察其中的细节，从而获得大量关于函数特点的信息。这将极大地方便我们归纳、概括函数的性质以及发现不同函数之间的区别与联系。下面，我们就利用信息技术来探究指数函数的性质。

1. 用信息技术绘制函数 $y = a^x (a > 0$，且 $a \neq 1)$ 的图象。由于底数 $a$ 可取大于0且不等于1的所有实数，所以不妨用一端固定于 $y$ 轴的水平线段 $PA$ 的长度来表示底数 $a$ 的值，即点 $A$ 的横坐标 $x_A$ 显示的就是 $a$ 的取值。

2. 如图 1，从左向右拖动点 $A(0 < x_A < 1)$，则 $x_A$ 的值逐渐增大。当 $x_A$ 的值越来越接近于 1 时，图象就越来越接近于直线 $y = 1$；当 $x_A = 1$ 时，图象就是直线 $y = 1$；继续向右拖动点 $A(x_A > 1)$，如图 2，图象发生了变化，随着 $x_A$ 的值逐渐增大，在第一象限内，图象越来越接近于 y 轴，在第二象限内，图象越来越接近于 x 轴.

3. 根据图 1 和图 2, 可以容易地发现指数函数的下列性质:

(1) 所有函数的图象都过点(0, 1).

(2) 所有函数的定义域都是 $(-∞,+∞)$ ，值域都是 $(0,+∞)$ .

(3) 在图 1 中, 当 $0 < a < 1$ 时, 函数图象均呈下降趋势, 即函数为减函数; 在图 2 中, 当 $a > 1$ 时, 函数图象均呈上升趋势, 即函数为增函数.

接下来，请你思考和探究下列问题：

1. 继续观察图 1 和图 2, 当自变量 $x$ 取同一个数时, 对应的函数值 $y$ 的大小关系是什么, 你从中发现了什么规律?

2. 类似地, 你可以利用信息技术绘制幂函数 $y = x^{\alpha}$ 的图象, 通过改变 $\alpha$ 的大小, 认识幂函数的变化规律.