4.2.2 指数函数的图象和性质

这一节把 4.2.1 定义的指数函数变成”看得见、用得动”的形状：研究方法和幂函数一模一样——画图象，从图象读性质。核心成果是一张性质表（表 4.2-3），而全部性质都从图象里”读”出来。

学完这一节，你要能：画出 $y = a^x$ 的草图（过 $(0,1)$、贴 $x$ 轴、增减方向）、背出两条底数范围对应的性质、用单调性比较指数大小（三种题型）。

一、y=2^x 与 y=(1/2)^x：一对镜像

先从最简单的 $y = 2^x$ 开始：列表（表 4.2-2）→ 描点 → 光滑连线（图 4.2-4）。图象是：过 $(0,1)$、只在一、二象限、从左到右上升且越来越陡、左端无限贴近 $x$ 轴（$x$ 轴是水平渐近线，曲线永远在它上方）。

探究问：$y = \left(\frac12\right)^x$ 与 $y = 2^x$ 有什么关系？关键变形：

$$y = \left(\frac12\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}.$$

点 $(x, y)$ 与点 $(-x, y)$ 关于 $y$ 轴对称，所以 $y = 2^x$ 图象上任一点关于 $y$ 轴的对称点都在 $y = \left(\frac12\right)^x$ 的图象上，反之亦然。结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称（图 4.2-5）——会画一个，另一个照镜子就有。

二、表 4.2-3：一张表装下全部性质

第二个探究：选若干个不同的底数 $a$ 画图（图 4.2-6），发现图象按 $a$ 分成两类——$0 < a < 1$ 与 $a > 1$。性质也分两类：

几条”共性”是判断与应用的基石：

1. 任何指数函数都过 $(0, 1)$——$a^0 = 1$，画图先点这个点；
2. 值域恒为 $(0, +\infty)$——图象永远在 $x$ 轴上方，$x$ 轴是渐近线；
3. 单调性由底数唯一决定——$a > 1$ 增、$0 < a < 1$ 减，这是本节用得最多的结论。

三、例 3：比较指数大小的三个套路

例 3 的 (1)(2) 是”同底不同指数”——两个值都是同一个指数函数的函数值，直接用单调性：

1. 同底、底 $> 1$：$1.7^{2.5}$ 与 $1.7^3$ 是 $y = 1.7^x$ 在 $x = 2.5$、$x = 3$ 的函数值。$1.7 > 1$ 增，$2.5 < 3$，所以 $1.7^{2.5} < 1.7^3$；
2. 同底、底 $< 1$：$0.8^{-\sqrt{2}}$ 与 $0.8^{-\sqrt{3}}$ 是 $y = 0.8^x$ 的函数值。$0 < 0.8 < 1$ 减，$-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$，所以 $0.8^{-\sqrt{2}} < 0.8^{-\sqrt{3}}$（减函数方向反转！）；
3. 底、指数都不同：$1.7^{0.3}$ 与 $0.9^{3.1}$ 不是一个函数的两个值——借”$x = 0$ 时 $y = 1$“搭桥：$1.7^{0.3} > 1.7^0 = 1$（$y=1.7^x$ 增），$0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1$（$y=0.9^x$ 减），所以 $1.7^{0.3} > 1 > 0.9^{3.1}$。

练习里还出现第四种：同指数、不同底（$6^{\sqrt{2}}$ 与 $7^{\sqrt{2}}$）——那不是指数函数，是幂函数 $y = x^{\sqrt{2}}$ 的两个值（$\alpha = \sqrt{2} > 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增），$6 < 7$，所以 $6^{\sqrt{2}} < 7^{\sqrt{2}}$。

课本边注总结得很准：利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系——反过来（如习题第 3 题），给函数值的大小也可以反推自变量的大小。

四、例 4：倍增期——指数增长的”节拍器”

指数增长函数有一个固有特征：增长到原来的 2 倍所需的时间恒定，这个时间叫倍增期。例 4 从图象（图 4.2-7）读数：该城市人口约 20 年从 10 万人长到 20 万人，所以倍增期约为 20 年——由此，(2) 从 80 万人开始，20 年后翻一番，约为 160 万人。

倍增期与增长率可以互相换算（后面习题会用到）：若增长率为 $r$，则倍增期 $h$ 满足

$$(1+r)^{h} = 2.$$

同理，半衰期 $h$ 满足 $(1-p)^h = \frac12$（4.2.1 的碳 14 就是 $p = 1-\left(\frac12\right)^{\frac{1}{5730}}$ 的特例）。倍增期、半衰期都是同一个东西：指数函数值翻倍（或减半）的固有时间，与起点无关。

五、习题里的模型应用

习题 4.2 把本节性质用在三类模型题上：

1. 增长率/复利模型（第 2、4、8 题）：$y = a(1+p\%)^x$、$y = Q_0(1+r)^x$、复利本利和——三个模型一个结构：每期乘 $1+$ 增长率；
2. 半衰期（第 7 题）：九个半衰期后剩 $\left(\frac12\right)^9 = \frac{1}{512} \approx 0.2\%$，大于千分之一（0.1%），所以还能测到——注意 0.2% > 0.1%；
3. 数据/图象定解析式（第 5 题）：给数据表（相邻项比值恒为常数 → 公比就是底数）或图象（读两个点），代入 $y = ka^x$ 解出 $k$、$a$。

六、易错点

1. 比较大小先认型：同底→指数函数；同指数→幂函数；都不同→借 1 搭桥。型认错，单调性方向就跟着错；
2. 底数范围决定增减：$a > 1$ 增、$0 < a < 1$ 减——比大小、解不等式之前先看底数在哪一边；
3. 定义域跟着指数走：$y = 0.7^{\frac1x}$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}$，不是 $\mathbf{R}$——指数部分是分式时，额外限制要叠加；
4. $|x|$ 型函数：$y = a\left(\frac12\right)^{|x|} + b$ 是偶函数（$|x|$ 关于 $y$ 轴对称），单调性必须按 $x \ge 0$、$x \le 0$ 分段说，不能笼统说增或减；
5. 渐近线跟平移走：$y = a^x$ 以 $x$ 轴为渐近线（值恒正）；$y = 2 - 2\left(\frac12\right)^{|x|}$ 以 $y = 2$ 为渐近线——水平渐近线是 $y = b$，不是 $y = 0$。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节没有直接考过节的真题，但本节的方法是高考的高频考点——指数（对数）比较大小是新课标卷小题的常客，解题工具就是例 3 的三个套路加”同指数用幂函数”；指数函数图象识别（过 $(0,1)$、渐近线、单调性与底数关系）也常以图象选择题出现。把这套方法练熟，“比大小”题就是秒选。

八、怎么读这一节

1. 亲手描点画 $y = 2^x$，再用对称性画 $y = \left(\frac12\right)^x$——“底数互为倒数 → 关于 $y$ 轴对称”是本节第一个值得背的结论；
2. 把表 4.2-3 默写一遍：两类底数的单调性、定点、值域、渐近线——本节全部性质就这一张表；
3. 独立重做例 3 三问，再补做”同指数不同底”的变式（$6^{\sqrt2}$ 与 $7^{\sqrt2}$）——四个比较套路凑齐；
4. 重做例 4：从图象读倍增期，再算 80 万人 20 年后——理解”倍增期是固有节拍，与起点无关”；
5. 做习题 4.2 第 7 题（碳 14 九周期）和第 9 题（$|x|$ 型函数）——半衰期换算与偶函数分段单调，都是考过多次的题型。

下一节 4.3 对数：给”$a^x = N$ 里的 $x$“单独命名。指数函数有了逆运算，第 4 章的第二个大概念登场。

本节页面覆盖第 123–128 页。课本习题共 13 道：第 125 页「练习」3 道、「习题 4.2」10 道（复习巩固 1–4、综合运用 5–8、拓广探索 9–10），逐题全做。第 127–128 页「信息技术应用（探究指数函数的性质）」是课外活动材料，不属于习题，不在本详解范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 在同一直角坐标系中画出函数 $y = 3^x$ 和 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 的图象，并说明它们的关系.

因为 $y = \left(\frac13\right)^x = \left(3^{-1}\right)^x = 3^{-x}$，所以对 $y = 3^x$ 图象上任一点 $P(x, y)$，它关于 $y$ 轴的对称点 $(-x, y)$ 都在 $y = 3^{-x}$ 的图象上，反之亦然。因此两个函数图象关于 $y$ 轴对称。

画法：先画 $y = 3^x$（过 $(0,1)$、第一、二象限、递增、以 $x$ 轴为渐近线），再作关于 $y$ 轴的对称图形即得 $y = \left(\frac13\right)^x$。

自检：这是 4.2.2”探究”结论的直接应用——底数互为倒数的两个指数函数图象关于 $y$ 轴对称。

练习 第 2 题

2. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $6^{\sqrt{2}}$ , $7^{\sqrt{2}}$ ; (2) $0.3^{-3.5}$ , $0.3^{-2.3}$ ; (3) $1.2^{0.5}$ , $0.5^{1.2}$ .

(1) 同指数、不同底——用幂函数单调性：$y = x^{\sqrt{2}}$ 是幂函数（$\alpha = \sqrt{2} > 0$），在 $(0, +\infty)$ 上递增。因为 $6 < 7$，所以

$$6^{\sqrt{2}} < 7^{\sqrt{2}}.$$

(2) 同底、不同指数——用指数函数单调性：$y = 0.3^x$ 的底 $0.3 < 1$，是减函数。因为 $-3.5 < -2.3$，减函数自变量大的函数值反而小，所以

$$0.3^{-3.5} > 0.3^{-2.3}.$$

(3) 底、指数都不同——借 1 搭桥：$1.2^{0.5} > 1.2^{0} = 1$（$y = 1.2^x$ 增），$0.5^{1.2} < 0.5^{0} = 1$（$y = 0.5^x$ 减），所以

$$1.2^{0.5} > 1 > 0.5^{1.2}.$$

自检：三问分别是三个套路——同指数用幂函数、同底用指数函数、都不同借 1。(2) 是”减函数”情形，比较方向要反转，最容易错。

练习 第 3 题

3. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.

示意图抓住两个特征：单调递增且越来越陡（增长率随时间增大）。即 $y$ 轴为癌细胞数量、$x$ 轴为时间，曲线从原点附近出发：前期贴近 $x$ 轴缓慢爬升，后期急剧上升——形状与 $y = ka^x$（$a > 1$）的图象一致。

自检：“先慢后快”正是指数增长（斜率越来越大）区别于线性增长（斜率恒定）的地方，示意图能画出”越来越陡”就抓住了题意。

习题 4.2 复习巩固 第 1 题

1. 求下列函数的定义域： (1) $y=2^{3-x}$ ; (2) $y=3^{2x+1}$ ; (3) $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{5x}$ ; (4) $y=0.7^{\frac{1}{x}}$ .

指数函数 $y = a^x$ 本身定义域是 $\mathbf{R}$，所以只看指数部分对 $x$ 有无额外限制：

(1) 指数 $3-x$ 对任意实数有意义 → 定义域 $\mathbf{R}$； (2) 指数 $2x+1$ 同理 → 定义域 $\mathbf{R}$； (3) 指数 $5x$ 同理 → 定义域 $\mathbf{R}$； (4) 指数 $\frac{1}{x}$ 要求 $x \neq 0$ → 定义域 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。

自检：前三问指数是整式，定义域全 $\mathbf{R}$；第 (4) 问指数是分式，$x = 0$ 处无定义——只需检查”指数部分本身有没有意义”。

习题 4.2 复习巩固 第 2 题

2. 一种产品原来的年产量是 $a$ 件，今后 $m$ 年内，计划使产量平均每年比上一年增加 $p\%$ ，写出年产量 $y$ （单位：件）关于经过的年数 $x$ 的函数解析式.

每年产量变为上一年的 $1 + p\%$ 倍，所以经过 $x$ 年后：

$$y = a(1 + p\%)^{x} \quad (x = 0, 1, 2, \ldots, m).$$

自检：增长率模型 $y = N(1+p)^x$。注意 $x$ 的取值范围要写——实际背景（$m$ 年内）限制了自变量。

习题 4.2 复习巩固 第 3 题

3. 比较满足下列条件的 m，n 的大小： (1) $2^{m}<2^{n}$ ; (2) $0.2^{m}<0.2^{n}$ ; (3) $a^{m}<a^{n}(0<a<1)$ ; (4) $a^{m}>a^{n}(a>1)$ .

(1) 底 $2 > 1$，$y = 2^x$ 增，$2^m < 2^n \Rightarrow m < n$； (2) 底 $0.2 < 1$，$y = 0.2^x$ 减，$0.2^m < 0.2^n \Rightarrow m > n$； (3) $0 < a < 1$ 减，$a^m < a^n \Rightarrow m > n$； (4) $a > 1$ 增，$a^m > a^n \Rightarrow m > n$。

自检：先看底数在哪一边，再定方向——底 $> 1$ 同向，$0 < 底 < 1$ 反向。这题是”由函数值大小反推自变量大小”，与例 3 互为逆用。

习题 4.2 复习巩固 第 4 题

4. 设函数 $f(x)=Q_{0}(1+r)^{x}$ ，且 $f(10)=20.23,\ f(11)=23.26.$ (1) 求函数 $f(x)$ 的增长率 r; (2) 求 $f(12)$ 的值.

(1) 增长率模型相邻两点的比值是 $1 + r$：

$$1 + r = \frac{f(11)}{f(10)} = \frac{23.26}{20.23} \approx 1.1498,$$

所以

$$r \approx 0.1498 \approx 15\%.$$

(2) 继续乘 $1 + r$：

$$f(12) = f(11)(1+r) = 23.26 \times 1.1498 \approx 26.74.$$

（等价地，$f(12) = f(10)(1+r)^2 = \frac{23.26^2}{20.23} \approx 26.74$。）

自检：增长率模型的本质是”等间隔处函数值成等比”——相邻比值就是 $1+r$，这是第 (1) 问的全部；第 (2) 问再乘一次即可，别从头算 $Q_0$（求 $Q_0$ 反而绕路）。

习题 4.2 综合运用 第 5 题

5. 求下列函数可能的一个解析式： (1) 函数 $f(x)$ 的数据如下表：

(2) 函数 $g(x)$ 的图象如下:

本题的题面条件都在课本第 126 页的表格与插图上（题号、引语与数据都在那里）：

(1) 题面表格：

(2) 题面附图：$g(x)$ 的图象是一条递减的指数型曲线——位于 $x$ 轴上方、以 $x$ 轴为水平渐近线（$x$ 越大曲线越贴近 $x$ 轴），图上标出两个点 $(-1, 8)$ 与 $(1, 2)$。

(1) 用题面表格的数据：

相邻两项比值恒定：$\frac{4.20}{3.50} = 1.2$，$\frac{5.04}{4.20} = 1.2$。公比为 1.2，设 $f(x) = k \cdot 1.2^x$，由 $f(0) = 3.50$ 得 $k = 3.50$。一个解析式：

$$f(x) = 3.5 \times 1.2^{x}.$$

(2) 用题面附图中的两个点 $(-1, 8)$ 与 $(1, 2)$。设 $g(x) = k \cdot a^{x}$，代入两点：

$$k \cdot a^{-1} = 8, \quad k \cdot a = 2.$$

两式相除得 $a^2 = \frac{2}{8} = \frac14$，$a = \frac12$（$a > 0$）；代入 $k \cdot \frac12 = 2$ 得 $k = 4$。所以

$$g(x) = 4 \times \left(\frac12\right)^{x} \quad \left(\text{也写作 } g(x) = 2^{2-x}\right).$$

自检：(1) 数据表”等间隔比值恒为常数”（1.2）→ 指数型，公比即底数；(2) 图象读两个点代入 $y = ka^x$ 解出 $k$、$a$。验证：$g(-1) = 4 \times 2 = 8$ ✓，$g(1) = 4 \times \frac12 = 2$ ✓。

习题 4.2 综合运用 第 6 题

6. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $3^{0.8}$ , $3^{0.7}$ ; (2) $0.75^{-0.1}$ , $0.75^{0.1}$ ; (3) $1.01^{2.7}$ , $1.01^{3.5}$ ; (4) $0.99^{3.3}$ , $0.99^{4.5}$ .

(1) 底 $3 > 1$ 增，$0.8 > 0.7$，所以 $3^{0.8} > 3^{0.7}$； (2) 底 $0.75 < 1$ 减，$-0.1 < 0.1$，所以 $0.75^{-0.1} > 0.75^{0.1}$； (3) 底 $1.01 > 1$ 增，$2.7 < 3.5$，所以 $1.01^{2.7} < 1.01^{3.5}$； (4) 底 $0.99 < 1$ 减，$3.3 < 4.5$，所以 $0.99^{3.3} > 0.99^{4.5}$。

自检：全是”同底不同指数”，单调性一判即可。(2)(4) 是底 $< 1$ 的情形，方向反转——“底数决定方向”这一条练四遍。

习题 4.2 综合运用 第 7 题

7. 当死亡生物组织内碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了。如果死亡生物组织内的碳 14 经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳 14 吗？

每过一个半衰期，含量乘 $\frac12$。九个半衰期后：

$$\left(\frac12\right)^{9} = \frac{1}{512} \approx 0.00195 \approx 0.2\%.$$

千分之一 = 0.1% = 0.001。$0.00195 > 0.001$，即含量约为死亡前的 0.2%，大于千分之一——所以能测到。

自检：临界值是千分之一（0.1%）；九个半衰期后剩 $\frac{1}{512} \approx 0.195\%$，还在临界之上。若换成十个半衰期（$\frac{1}{1024} \approx 0.098\%$），才跌到千分之一以下。

习题 4.2 综合运用 第 8 题

8. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 $a$ （单位：元），每期利率为 $r$ ，本利和为 $y$ （单位：元），存期数为 $x$ （1）写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数解析式；(2）如果存入本金1000元，每期利率为 $2.25\%$ ，试计算5期后的本利和.

(1) 复利是”利上加利”：每期本利和变为上期的 $1 + r$ 倍，所以

$$y = a(1 + r)^{x} \quad (x \in \mathbf{N}^{*}).$$

定义域取 $\mathbf{N}^{*}$ 而不是 $\mathbf{N}$：$x$ 是存期数，$x=0$ 表示根本没有存，不属于这个储蓄模型的自变量取值（虽然代进去 $y=a$ 数值上自洽，但那说的是「没存」这件事，不是「存了 0 期的本利和」）。

(2) 代入 $a = 1000$、$r = 2.25\% = 0.0225$、$x = 5$：

$$y = 1000 \times 1.0225^{5} \approx 1000 \times 1.117\,68 \approx 1117.68 \ (\text{元}).$$

自检：复利就是增长率模型 $y = N(1+p)^x$ 的直接应用。$1.0225^5 \approx 1.117\,68$（计算工具；逐期算一遍也一样：$1022.5\to1045.51\to1069.03\to1093.08\to1117.68$），5 期后本利和约 1117.68 元，其中利息约 117.68 元。若按单利算只有 $1000\times(1+5\times2.25\%)=1112.5$ 元——复利多出的 5.18 元正是「利上加利」的那部分。

习题 4.2 拓广探索 第 9 题

9. 已知函数 $y = a\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.

(1) 求该函数的解析式，并画出图象；

(2) 判断该函数的奇偶性和单调性.

(1) 当 $|x| \to +\infty$ 时，$\left(\frac12\right)^{|x|} \to 0$，所以 $y \to b$。图象无限接近 $y = 2$，故 $b = 2$。

图象过原点，即 $x = 0$ 时 $y = 0$：

$$0 = a \cdot \left(\frac12\right)^{0} + 2 = a + 2,$$

所以 $a = -2$。解析式为

$$y = 2 - 2\left(\frac12\right)^{|x|}.$$

图象：过原点 $(0, 0)$；$\left(\frac12\right)^{|x|} \le 1$，故 $y \ge 0$（等号在 $x = 0$）；$x \to \pm\infty$ 时 $y \to 2^{-}$（无限接近直线 $y = 2$ 但不相交）。形状像”碗”的横截面：原点最低，两侧上升、渐近 $y = 2$。

(2) 奇偶性：$f(-x) = 2 - 2\left(\frac12\right)^{|-x|} = f(x)$——偶函数。

单调性：$x \ge 0$ 时，$y = 2 - 2\left(\frac12\right)^{x}$，底 $\frac12 < 1$ 使 $\left(\frac12\right)^x$ 递减，故 $y$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增；由偶函数图象关于 $y$ 轴对称，在 $(-\infty, 0]$ 上递减。

自检：两个参数各有出处——渐近线直接给 $b$（$|x| \to \infty$ 时只剩常数项），过原点给 $a$。偶函数由 $|x|$ 决定；单调性必须分段说（$x \ge 0$ 用指数函数单调性、$x \le 0$ 用对称性）——”$|x|$ 型函数”的标准处理。

习题 4.2 拓广探索 第 10 题

10. 已知 $f(x) = a^x$，$g(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x (a > 0$，且 $a \neq 1)$，

(1) 讨论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的单调性.

(2) 如果 $f(x) < g(x)$ ，那么 x 的取值范围是多少？

(1) 分两类讨论：

• $0 < a < 1$：$f(x) = a^x$ 的底在 $(0, 1)$，递减；$g(x) = \left(\frac1a\right)^x$ 的底 $\frac1a > 1$，递增；
• $a > 1$：$f(x) = a^x$，递增；$g(x) = \left(\frac1a\right)^x$ 的底 $\frac1a < 1$，递减。

(2) $g(x) = \left(\frac1a\right)^x = a^{-x}$，$f(x) < g(x)$ 即 $a^x < a^{-x}$：

• $a > 1$（增函数）：$x < -x \Rightarrow x < 0$；
• $0 < a < 1$（减函数）：$x > -x \Rightarrow x > 0$。

所以 $a > 1$ 时 $x \in (-\infty, 0)$；$0 < a < 1$ 时 $x \in (0, +\infty)$。

自检：(1) 底数互为倒数 → 单调性相反（图象关于 $y$ 轴对称）；(2) 解指数不等式就是”底数定方向”——底 $> 1$ 不等号不变，$0 < 底 < 1$ 反转。也可以换一种理解：$a^x < a^{-x}$ 当且仅当 $a^{2x} < 1$，而 $a > 1$ 时 $a^{2x} < 1 \iff x < 0$、$0 < a < 1$ 时 $a^{2x} < 1 \iff x > 0$，殊途同归。