4.2 指数函数

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4.2 指数函数

对于幂 $a^x (a > 0)$ ，我们已经把指数 $x$ 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数.

4.2.1 指数函数的概念

问题 1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

为了有利于观察规律，根据表 4.2-1，分别画出 A，B 两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图象（图 4.2-1 和图 4.2-2）.

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为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来.

观察图象和表格，可以发现，A 地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为 10 万次）；B 地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.

探究

我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对 B 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。

从 2002 年起，将 B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

$\frac {2 0 0 2 \mathrm{年游客人次}}{2 0 0 1 \mathrm{年游客人次}} = \frac {3 0 9}{2 7 8} \approx 1. 1 1,$

$\frac {2 0 0 3 \mathrm{年游客人次}}{2 0 0 2 \mathrm{年游客人次}} = \frac {3 4 4}{3 0 9} \approx 1. 1 1,$

$\frac {2 0 1 5 \mathrm{年游客人次}}{2 0 1 4 \mathrm{年游客人次}} = \frac {1 2 4 4}{1 1 1 8} \approx 1. 1 1.$

结果表明，B 地景区的游客人次的年增长率都约为 1.11 - 1 = 0.11，是一个常数.

像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。

显然，从 2001 年开始，B 地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

1年后，游客人次是2001年的 $1.11^{1}$ 倍；

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做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。

2年后，游客人次是2001年的 $1.11^{2}$ 倍；

3年后，游客人次是2001年的 $1.11^{3}$ 倍；

…

x年后，游客人次是2001年的 $1.11^{x}$ 倍.

如果设经过 $x$ 年后的游客人次为2001年的 $y$ 倍，那么

y = 1. 1 1 ^ {x} (x \in [ 0, + \infty)).\tag{①}

这是一个函数，其中指数 $x$ 是自变量.

问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为 “半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 $p$，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么

死亡1年后，生物体内碳14含量为 $(1-p)^{1}$ ;

死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为 $(1-p)^{2}$ ;

死亡3年后，生物体内碳14含量为 $(1-p)^{3}$ ;

…

死亡 5 730 年后，生物体内碳 14 含量为 $(1-p)^{5730}$ .

根据已知条件， $(1-p)^{5730}=\frac{1}{2}$ ，从而 $1-p=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$ ，所以 $p=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$ .

设生物死亡年数为 $x$ ，死亡生物体内碳14含量为 $y$ ，那么 $y = (1 - p)^x$ ，即

y = \left(\left(\frac {1}{2}\right) ^ {\frac {1}{5 7 3 0}}\right) ^ {x} (x \in [ 0, + \infty)).\tag{②}

这也是一个函数，指数 $x$ 是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以 $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$ 的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.

如果用字母 $a$ 代替上述①②两式中的底数1.11和 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$ ，那么函数 $y = 1.11^{x}$ 和 $y = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right)^{x}$ 就可以表示为

$y = a ^ {x}$

的形式，其中指数 $x$ 是自变量，底数 $a$ 是一个大于0且不等于1的常量.

一般地，函数 $y = a^x (a > 0$，且 $a \neq 1$ 叫做指数函数（exponential function），其中指数 $x$ 是自变量，定义域是R.

例1 已知指数函数 $f(x) = a^{x} (a > 0$，且 $a \neq 1$，且 $f(3) = \pi$，求 $f(0), f(1), f(-3)$ 的值.

分析：要求 $f(0), f(1), f(-3)$ 的值，应先求出 $f(x) = a^x$ 的解析式，即先求 $a$ 的值.

解：因为 $f(x) = a^{x}$，且 $f(3) = \pi$，则 $a^3 = \pi$，解得 $a = \pi^{\frac{1}{3}}$，于是

$f (x) = \pi^ {\frac {x}{3}}.$

所以， $f(0) = \pi^0 = 1$ ， $f(1) = \pi^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\pi}$ ， $f(-3) = \pi^{-1} = \frac{1}{\pi}$

例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1 000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.

解：（1）设经过 $x$ 年，游客给A，B两地带来的收入分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$，则

$f (x) = 1 1 5 0 \times (1 0 x + 6 0 0),$

$g (x) = 1 0 0 0 \times 2 7 8 \times 1. 1 1 ^ {x}.$

利用计算工具可得，

当 x=0 时， $f(0)-g(0)=412\ 000.$

当 $x \approx 10.22$ 时，$f(10.22) \approx g(10.22)$.

结合图 4.2-3 可知：

当 $x < 10.22$ 时，$f(x) > g(x)$，

当 $x > 10.22$ 时，$f(x) < g(x)$.

当 x=14 时， $g(14)-f(14)\approx347\ 303.$

图4.2-3

这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B

地多 412 000 万元；随后 10 年，虽然 $f(x) > g(x)$ ，但 $g(x)$ 的增长速度大于 $f(x)$ ；根据上述数据，并考虑到实际情况，在 2011 年 3 月某个时刻就有 $f(x) = g(x)$ ，这时游客给 A 地带来的收入和 B 地差不多；此后， $f(x) < g(x)$ ，游客给 B 地带来的收入超过了 A 地；由于 $g(x)$ 增长得越来越快，在 2015 年，B 地的收入已经比 A 地多 347 303 万元了。

(2) 设生物死亡 x 年后，它体内碳 14 含量为 $h(x)$ .

如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么

$h (x) = \left(\left(\frac {1}{2}\right) ^ {\frac {1}{5 7 3 0}}\right) ^ {x}.$

当 $x = 10000$ 时，利用计算工具求得 $h(10000) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10000}{5730}} \approx 0.30.$

所以，生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 含量衰减为原来的约 30%.

在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则 $y=N(1+p)^{x}(x\in\mathbf{N})$ 。形如 $y=ka^{x}(k\in\mathbf{R},$ 且 $k\neq0$ ；a>0，且 $a\neq1$ ）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型。

练习

1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（）.

2. 已知函数 $y=f(x)$ ， $x \in R$ ，且 $f(0)=3$ ， $\frac{f(0.5)}{f(0)}=2$ ， $\frac{f(1)}{f(0.5)}=2,\cdots,\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n-1))}=2$ ， $n \in N^{*}$ ，求函数 $y=f(x)$ 的一个解析式.

3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）

? 阅读与思考

放射性物质的衰减

本节问题2中的碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质。放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质。在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减。一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期。那么连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”（放射性物质质量衰减为0所用的时间）？

实际上，在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有质量的 $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$ . 所以，连续两个半衰期并非是一个全衰期.

在问题2中，我们知道碳14的半衰期为5730年，如果 $C_0$ 是碳14的初始质量，那么经过 $t$ 年后，碳14所剩的质量 $C(t) = C_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$

一般地，如果某物质的半衰期为 h，那么经过时间 t 后，该物质所剩的质量 $Q(t)=Q_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}$ ，其中 $Q_{0}$ 是该物质的初始质量。你能说明理由吗？

如果某函数呈指数增长，那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”。你能通过上网查询，给出一个倍增的指数函数模型实例吗？