4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

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文字转写

例 4 计算下列各式（式中字母均是正数）：

(1) (2a23b12)(−6a12b13)÷(−3a16b56)\left(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\right)\left(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\right) \div \left(-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}}\right); (2) (m14n−38)8\left(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}}\right)^8;

(3) (a23−a3)÷a24(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt{a^3}) \div \sqrt[4]{a^2}.

解：(1) \left(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\right)\left(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\right) \div \left(-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}}\right)$$= [2 \times (-6) \div (-3)]a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}}b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}}$$= 4ab^{0}$$= 4a;

(2) \left(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}}\right)^{8}=\left(m^{\frac{1}{4}}\right)^{8}\left(n^{-\frac{3}{8}}\right)^{8}$$=m^{2}n^{-3}$$=\frac{m^{2}}{n^{3}};

(3) (\sqrt[3]{a^2} -\sqrt{a^3})\div \sqrt[4]{a^2} = (a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{3}{2}})\div a^{\frac{1}{2}}$$= a^{\frac{2}{3}}\div a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}\div a^{\frac{1}{2}}$$= a^{\frac{1}{6}} - a$$= \sqrt[6]{a} -a.

练习

  1. 用根式的形式表示下列各式 (a>0)(a>0) : (1) a12a^{\frac{1}{2}} ; (2) a34a^{\frac{3}{4}} ; (3) a−35a^{-\frac{3}{5}} ; (4) a−23a^{-\frac{2}{3}} .

  2. 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式： (1) x23(x>0)\sqrt[3]{x^{2}}(x>0) ; (2) (m−n)45(m>n)\sqrt[5]{(m-n)^{4}}(m>n) ; (3) p6p5(p>0)\sqrt{p^{6}}\sqrt{p^{5}}(p>0) ; (4) a3a(a>0)\frac{a^{3}}{\sqrt{a}}(a>0) .

  3. 计算下列各式： (1) (3649)32\left(\frac{36}{49}\right)^{\frac{3}{2}} ; (2) 23×31.53×1262\sqrt{3} \times 3\sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12} ; (3) a12a14a−18a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{8}} (a>0); (4) 2x−13(12x13−2x−23)2x^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-2x^{-\frac{2}{3}}\right) .

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

上面我们将 ax(a>0)a^x (a > 0) 中指数 xx 的取值范围从整数拓展到了有理数. 那么，当指数 xx 是无理数时，axa^x 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？

在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数。类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂。

探究

根据 2\sqrt{2} 的不足近似值 xx 和过剩近似值 yy （表4.1-1），利用计算工具计算相应的5x5^{x} ， 5y5^{y} 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？

可以发现，当 2\sqrt{2} 的不足近似值 xx 和过剩近似值 yy 逐渐逼近 2\sqrt{2} 时，5x5^x 和 5y5^y 都趋向于同一个数，这个数就是 525^{\sqrt{2}}。也就是说，525^{\sqrt{2}} 是一串逐渐增大的有理数指数幂 51.45^{1.4}，51.415^{1.41}，51.4145^{1.414}，51.41425^{1.4142}，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂 51.55^{1.5}，51.425^{1.42}，51.4155^{1.415}，51.41435^{1.4143}，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数。这个过程可以用图4.1-1表示。

图4.1-1

思考

参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 232^{\sqrt{3}} ，说明它也是一个确定的实数吗？

一般地，无理数指数幂 aα(a>0,αa^\alpha (a > 0, \alpha 为无理数) 是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂 ax(a>0)a^x (a > 0) 中指数 xx 的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 r,sr, s，均有下面的运算性质.

a ^ {r} a ^ {s} = a ^ {r + s} (a > 0, r, s \in \mathbf {R}); \tag {1}

(a ^ {r}) ^ {s} = a ^ {r s} (a > 0, r, s \in \mathbf {R}); \tag {2}

(a b) ^ {r} = a ^ {r} b ^ {r} (a > 0, b > 0, r \in \mathbf {R}). \tag {3}

  1. 计算下列各式： (1) (23m3)23\left(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}}\right)^{2\sqrt{3}} ; (2) aπ3a2π3a−π.a^{\frac{\pi}{3}}a^{\frac{2\pi}{3}}a^{-\pi}.

  2. 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：

(1) x 取负实数，使得 ∣x∣\left|x\right| 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 2x(x∈R)2^{x}(x \in \mathbf{R}) 的值，观察变化趋势；

(2) xx 取正实数, 使得 xx 的值逐渐增大并趋向于无穷大, 计算相应的 (12)x(x∈R)\left(\frac{1}{2}\right)^x (x \in \mathbf{R}) 的值, 观察变化趋势.

习题4.1

复习巩固

  1. 求下列各式的值： (1) 10044\sqrt[4]{100^{4}} ; (2) (−0.1)55\sqrt[5]{(-0.1)^{5}} ; (3) (π−4)2\sqrt{(\pi-4)^{2}} ; (4) (x−y)66\sqrt[6]{(x-y)^{6}} .

  2. 选择题

(1) 设 a > 0，则下列运算中正确的是（）. (A) a43a34=aa^{\frac{4}{3}}a^{\frac{3}{4}}=a (B) a÷a23=a32a \div a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{2}} (C) a23a−23=0a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}} = 0 (D) (a14)4=a(a^{\frac{1}{4}})^{4} = a

(2) 设 a > 0, m, n 是正整数，且 n > 1，则下列各式 amn=amn,a0=1,a−mn=1amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}, a^{0}=1, a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}

正确的个数是（）. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

  1. 填空题

（1）在 (−12)−1\left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} ， 2−122^{-\frac{1}{2}} ， (12)−1\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} ， 2−12^{-1} 中，最大的数是____；

(2) 按从小到大的顺序，可将 232^{\sqrt{3}} ， 323^{\sqrt{2}} ， π5\pi^{\sqrt{5}} ， 2π2^{\pi} 重新排列为 ____ （可用计算工具）.

  1. 用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均为正数）： (1) b3aa2b6\sqrt{\frac{b^{3}}{a}\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{6}}}} ; (2) a12a12a\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a}}} ; (3) mm3m4(m6)5m14\frac{\sqrt{m}\sqrt[3]{m}\sqrt[4]{m}}{\left(\sqrt[6]{m}\right)^{5}m^{\frac{1}{4}}} .

  2. 计算下列各式（式中字母均为正数）： (1) a13a34a712a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{7}{12}} ; (2) a23a34÷a56a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{3}{4}}\div a^{\frac{5}{6}} ; (3) (x13y−34)12\left(x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{3}{4}}\right)^{12} ; (4) 4a23b−13÷(−23a−13b−13)4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\div\left(-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\right) .

  1. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每 10 min 分裂 1 次（1 个分裂成 2 个），那么经过 1 h，1 个这种细菌可以分裂成 ____ 个.

7.（1）已知 10m=210^{m} = 2 ， 10n=310^{n} = 3 ，求 103m−2n210^{\frac{3m - 2n}{2}} 的值；

(2) 已知 a2x=3a^{2x}=3 ，求 a3x+a−3xax+a−x\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}} 的值.

  1. 已知 a12+a−12=3a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3，求下列各式的值：(1) a+a−1a + a^{-1}；(2) a2+a−2a^2 + a^{-2}.

拓广探索

  1. 从盛有 1 L 纯酒精的容器中倒出 13\frac{1}{3} L，然后用水填满；再倒出 13\frac{1}{3} L，又用水填满……

(1) 连续进行 5 次，容器中的纯酒精还剩下多少？

(2) 连续进行 n 次，容器中的纯酒精还剩下多少？

10.（1）当 n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…n = 1,2,3,10,100,1000,10000,100000,\dots 时，用计算工具计算 (1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n （n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）的值；

(2) 当 n 越来越大时， (1+1n)n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 (1+1n)n(1+\frac{1}{n})^{n} 是否也会越来越大？有没有最大值？