4.1 指数

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4.1 指数

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.

初中已经学过整数指数幂. 在学习幂函数时, 我们把正方形场地的边长 $c$ 关于面积 $S$ 的函数 $c = \sqrt{S}$ 记作 $c = S^{\frac{1}{2}}$. 像 $S^{\frac{1}{2}}$ 这样以分数为指数的幂, 其意义是什么呢? 下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.

4.1.1 $n$ 次方根与分数指数幂

我们知道：

如果 $x^{2} = a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根.例如， $\pm 2$ 就是4的平方根

如果 $x^{3} = a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根.例如，2就是8的立方根

类似地，由于 $(\pm 2)^4 = 16$ ，我们把 $\pm 2$ 叫做16的4次方根；由于 $2^{5} = 32$ ，2叫做32的5次方根.

一般地，如果 $x^n = a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n > 1$ ，且 $n \in \mathbf{N}^*$.

当 $n$ 是奇数时，正数的 $n$ 次方根是一个正数，负数的 $n$ 次方根是一个负数。这时，$a$ 的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示。例如，

$\sqrt [ 5 ]{3 2} = 2, \sqrt [ 5 ]{- 3 2} = - 2, \sqrt [ 3 ]{a ^ {6}} = a ^ {2}.$

当 $n$ 是偶数时，正数的 $n$ 次方根有两个，这两个数互为相反数。这时，正数 $a$ 的正的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示，负的 $n$ 次方根用符号 $-\sqrt[n]{a}$ 表示。正的 $n$ 次方根与负的 $n$ 次方根可以合并写成 $\pm \sqrt[n]{a} (a > 0)$。例如，

$\sqrt [ 4 ]{1 6} = 2, - \sqrt [ 4 ]{1 6} = - 2, \pm \sqrt [ 4 ]{1 6} = \pm 2.$

负数没有偶次方根.

0 的任何次方根都是 0，记作 $\sqrt[n]{0}=0$ .

式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式（radical），这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

为什么负数没有偶次方根？

根据 $n$ 次方根的意义，可得

$(\sqrt [ n ]{a}) ^ {n} = a.$

例如， $(\sqrt{5})^{2}=5,\quad(\sqrt[5]{-3})^{5}=-3.$

探究

$\sqrt[n]{a^n}$ 表示 $a^n$ 的 $n$ 次方根，$\sqrt[n]{a^n} = a$ 一定成立吗？如果不一定成立，那么 $\sqrt[n]{a^n}$ 等于什么？

可以得到：

当 $n$ 为奇数时， $\sqrt[n]{a^n} = a$

当 $n$ 为偶数时，$\sqrt[n]{a^n} = |a| = \begin{cases} a, & a \geqslant 0, \\ -a, & a < 0. \end{cases}$

例 1 求下列各式的值:

(1) $\sqrt[3]{(-8)^3}$;

(2) $\sqrt{(-10)^2}$;

(3) $\sqrt[4]{(3 - \pi)^4}$; (4) $\sqrt{(a - b)^2}$.

解：(1) $\sqrt[3]{(-8)^3} = -8$;

(2) $\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10$;

(3) $\sqrt[4]{(3 - \pi)^4} = |3 - \pi| = \pi - 3$;

(4) $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b| = \begin{cases} a - b, & a \geqslant b, \\ b - a, & a < b. \end{cases}$

根据 $n$ 次方根的定义和数的运算，我们知道

$\sqrt [ 5 ]{a ^ {1 0}} = \sqrt [ 5 ]{(a ^ {2}) ^ {5}} = a ^ {2} = a ^ {\frac {1 0}{5}} (a > 0),$

$\sqrt [ 4 ]{a ^ {1 2}} = \sqrt [ 4 ]{(a ^ {3}) ^ {4}} = a ^ {3} = a ^ {\frac {1 2}{4}} (a > 0).$

这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

思考

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？

把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 $\sqrt[3]{a^2}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt[4]{c^5}$ 等写成下列形式：

$\sqrt [ 3 ]{a ^ {2}} = a ^ {\frac {2}{3}} (a > 0),$

$\sqrt {b} = b ^ {\frac {1}{2}} (b > 0),$

$\sqrt [ 4 ]{c ^ {5}} = c ^ {\frac {5}{4}} (c > 0),$

我们希望整数指数幂的运算性质，如 $(a^{k})^{n}=a^{kn}$ ，对分数指数幂仍然适用.

由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是

$a ^ {\frac {m}{n}} = \sqrt [ n ]{a ^ {m}} (a > 0, m, n \in \mathbf {N} ^ {*}, n > 1).$

于是，在条件 $a > 0$ ， $m$ ， $n\in \mathbf{N}^*$ ， $n > 1$ 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，

$a ^ {- \frac {m}{n}} = \frac {1}{a ^ {\frac {m}{n}}} = \frac {1}{\sqrt [ n ]{a ^ {m}}} (a > 0, m, n \in \mathbf {N} ^ {*}, n > 1).$

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数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容.

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这里，略去了规定合理性的说明.

例如， $5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$ ， $a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}.$

与 0 的整数指数幂的意义相仿，我们规定，

0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.

规定了分数指数幂的意义以后，幂 $a^x$ 中指数 $x$ 的取值范围就从整数拓展到了有理数.

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 $r$ ， $s$ ，均有下面的运算性质.

(1) a^r a^s = a^{r + s}$$(a > 0, r, s \in \mathbf{Q});

(2) (a^r)^s = a^{rs}$$(a > 0, r, s \in \mathbf{Q});

(3) (ab)^{r} = a^{r}b^{r}$$(a > 0, b > 0, r \in \mathbf{Q}).

例 2 求值:

(1) $8^{\frac{2}{3}}$ (2） $\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}.$

解：（1） $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3\times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4;$

(2) $\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} = \left(\frac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{3^{4}}{2^{4}}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4 \times \frac{3}{4}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8}$.

例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中 $a > 0$）：(1） $a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}$ (2） $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$

解：(1) $a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = a^2 a^{\frac{2}{3}} = a^{2 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{8}{3}}$

(2) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}} = (a a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}.$