4.1 指数

这一节做的是一件”扩地盘”的事：把幂 $a^x$ 里指数 $x$ 的取值范围从整数扩到有理数。 扩的办法不是重新定义一套运算，而是先确定一个规定，再检查它与旧的相容—— 这正是数学里引入新概念的通用做法，课本页边那句”引进一个新的概念或法则时， 总希望它与已有的概念或法则相容”说的就是它。

所以这一节的讲法按”为什么必须这么规定”排：先把 $n$ 次方根说清楚（分数指数幂的意义全靠它）， 再给出规定并解释为什么只能这么定，最后收拢成三条运算性质与几处易错。

一、$n$ 次方根：奇偶两种情况，差别全在”有几个”

如果 $x^n = a$（$n>1$ 且 $n \in \mathbf{N}^{*}$），那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根。 式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式，$n$ 叫根指数，$a$ 叫被开方数。

$n$ 的奇偶决定了完全不同的两种局面：

例如 $\sqrt[5]{32} = 2$、$\sqrt[5]{-32} = -2$、$\sqrt[4]{16} = 2$、$-\sqrt[4]{16} = -2$。

负数为什么没有偶次方根？ 因为偶数次幂恒非负：任何实数 $x$ 都有 $x^{2k} = (x^k)^2 \geqslant 0$， 所以 $x^n = a < 0$（$n$ 为偶数）无解。这一句是后面所有"$a>0$"限制的总源头。

两个长得像、其实不同的式子（这一处是本节最容易混的地方）：

第一个式子里先开方再乘方，开得出来就一定还原；第二个式子里先乘方再开方， 偶数次时乘方已经把负号吃掉了，开出来的是非负数，所以要写成绝对值。 课本例 1 的四小问就是逐个练这一条：$\sqrt[3]{(-8)^3} = -8$（奇次，原样）、 $\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10$（偶次，取绝对值）、 $\sqrt[4]{(3-\pi)^4} = |3-\pi| = \pi - 3$（因为 $\pi > 3$，绝对值要变号）、 $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$（不知道 $a$、$b$ 谁大，只能保留绝对值或分类讨论）。

第三小问最值得记：把绝对值去掉之前，必须先判断里面那个数的正负。$3 - \pi < 0$， 所以 $|3-\pi| = -(3-\pi) = \pi - 3$。丢掉这一步就是这一节最典型的错。

二、分数指数幂：规定是被”相容性”逼出来的

先看一个现象。当被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成整数指数幂：

两边的指数正好是 $\frac{\text{被开方数的指数}}{\text{根指数}}$。如果希望不能整除时也照这个样子写， 就只能规定

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \qquad (a>0,\ m, n \in \mathbf{N}^{*},\ n>1).$

这不是”发现”，是”规定”——但它是唯一能让旧性质 $(a^k)^n = a^{kn}$ 继续成立的规定， 所以没有别的选择。这就是课本说的”相容”。

负分数指数幂照负整数指数幂的样子规定：

$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \qquad (a>0,\ m,n \in \mathbf{N}^{*},\ n>1).$

例如 $5^{-\frac43} = \frac{1}{5^{\frac43}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$。

$0$ 单独规定：$0$ 的正分数指数幂等于 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义 （因为它要作分母）。

为什么所有规定都写着 $a>0$？ 因为一旦允许底数为负，同一个数会算出两个互相矛盾的结果： $\frac13 = \frac26$，若允许 $a=-8$，则一边是 $(-8)^{\frac13} = \sqrt[3]{-8} = -2$， 另一边是 $(-8)^{\frac26} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$。分数的写法不唯一，运算的结果就不唯一了——把底数限定为正数，这个矛盾才消失。

于是，规定了分数指数幂之后，幂 $a^x$ 中指数 $x$ 的取值范围就从整数扩到了有理数。

三、三条运算性质：整数时怎么用，有理数时照样用

对任意有理数 $r$、$s$：

三条与初中学的整数指数幂完全一样——这正是第二节那个规定要保证的事。 由它们还能立刻推出两条常用的变形：

$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$

计算的固定套路只有一句：把所有的数都化成同一个底的幂。 课本例 2 的两小问就是这一句的示范：

$8^{\frac23} = (2^3)^{\frac23} = 2^{3 \times \frac23} = 2^2 = 4;$

第二式里”负指数先把分数倒过来”是很省事的一步：$x^{-r} = \left(\frac1x\right)^{r}$。

带根号的化简，一律先换成分数指数幂再算（课本例 3）：

$a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = a^2 \cdot a^{\frac23} = a^{2+\frac23} = a^{\frac83} \quad (a>0);$

$\sqrt{a\sqrt[3]{a}} = \left(a \cdot a^{\frac13}\right)^{\frac12} = \left(a^{\frac43}\right)^{\frac12} = a^{\frac23} \quad (a>0).$

嵌套的根式看着吓人，换成分数指数之后只是分数的加法与乘法。

四、易错清单

按失分频率排：

1. $\sqrt[n]{a^n}$ 在 $n$ 为偶数时忘了加绝对值。 $\sqrt{x^2} = |x|$，不是 $x$。
2. 去绝对值时不判符号。 $|3-\pi| = \pi - 3$，不是 $3-\pi$。
3. 底数为负还用分数指数幂。 所有分数指数幂的规定都要求 $a>0$。 遇到 $\sqrt[3]{-8}$ 这类式子，要按根式处理（奇次根对负数有意义），别改写成 $(-8)^{\frac13}$。
4. 把 $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ 与 $\sqrt[n]{a^n}$ 当成一回事。 见第一节末尾。
5. 化简时没统一底数。 $4^x$ 与 $8^y$ 要一起处理，先都写成 $2$ 的幂。
6. $0$ 的负分数指数幂当成 $0$。 它没有意义。

五、这一节的练习在哪

课本给这一小节配的「练习」印在第 114 页上，而第 114 页在版式上已经排进了下一小节 §4.1.2「无理数指数幂及其运算性质」的开头（课本的小节划分与页面边界并不对齐，全书都是如此）。 按”题面在哪一页，详解就住在哪一节”的规矩，那几道题归 §4.1.2 那一节， 本节页面上因此没有「习题详解」这一块。想练手的话，翻到 §4.1.2 的扫描图第 114 页即可。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节现在连着这么几道：

• 2022 年第 7 题（指对数互化求值）：题目给出 $2^a$、$2^{3b}$ 一类的条件，问 $4^{a-3b}$ 的值。做法正是第三节那一句——把所有的数都化成以 $2$ 为底的幂： $4^{a-3b} = \left(2^2\right)^{a-3b} = \frac{\left(2^a\right)^2}{\left(2^{3b}\right)^2}$， 代入已知即可。这道题除了指数运算性质没有别的东西，它就是本节内容在高考里的原样出现。
• 2015 年第 12 题（$a=\log_{4}3$，求 $2^{a}+2^{-a}$）：条件的底是 $4$、所求的底是 $2$， 而 $4=2^{2}$——一步 $\left(2^{a}\right)^{2}=\left(2^{2}\right)^{a}=4^{a}=3$ 就把两个底接上了， 用的正是第三节那条 $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{rs}$。这道题还留了一个必须补的句子： 由 $\left(2^{a}\right)^{2}=3$ 只能得到 $\left|2^{a}\right|=\sqrt{3}$， 要写成 $2^{a}=\sqrt{3}$，得先说「$2$ 的任何实数次幂都是正的」—— 本节第二节那条「$a^{x}>0$ 恒成立」在这里不是背景，是删不掉的一步；
• 2016 年第 12 题（两个条件求 $a$、$b$）：第一个条件先解出 $a=b^{2}$， 第二个条件 $a^{b}=b^{a}$ 就全靠本节的运算性质拆——代进去得 $b^{2b}=b^{b^{2}}$， 同底数幂相等就比指数，$2b=b^{2}$ 给出 $b=2$、$a=4$。 “底化统一，再比指数”是本节性质在解方程里最常见的一次出场。
• 2019 年第 6 题（$y=\frac{1}{a^{x}}$ 与 $y=\log_{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 的图象选择）： 本节在这道题里只出场一句改写——$\frac{1}{a^{x}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$， 底数取一次倒数，单调性就翻面。认出这一点，“两条曲线必须一升一降”这条必要条件立刻刷掉三张图。