这一节（3.4 函数的应用（一））把前面学过的一次函数、二次函数、幂函数用到现实世界里。整节只有两个例题（个税、汽车行程），但它们示范的是同一件事的完整流程——把实际问题翻译成函数，再用函数的语言求解。学完这一节，你要能：给一个实际问题，设出变量、列出函数解析式（不忘定义域）、用单调性或最值回答问题。

一、函数建模的四步

课本开篇说”体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法”。把两个例题放在一起看，套路是固定的四步：

1. 审题设变量：确定自变量、因变量，写明单位（例 1 的 $x$ 是全年综合所得收入额、$y$ 是应缴个税，例 2 的 $t$ 是时间、$s$ 是里程表读数）；
2. 找等量关系列解析式：把题里的数量关系翻译成函数式，定义域跟着实际背景走（例 1 收入额不可能为负、例 2 时间只在 $[0, 5]$ 内有定义）；
3. 求值 / 分析：用函数的性质（单调性、最值）或直接代入求解；
4. 检验 / 解读：把算出的数放回问题语境里回答（例 1 答”2 752 元”、例 2 答”360 km”）。

这四步就是后面第 4 章”函数的应用（二）“（指数、对数模型）的骨架——本节先拿一次、二次、幂函数练手。

二、例 1 个税：两个函数合成一个

例 1 是 3.1.2 例 8 的续集：那节把”应纳税所得额 → 个税”做成了分段函数 $y = f(t)$，本节再加一层——综合所得收入额 $x$ 先换算成应纳税所得额 $t$（$t = 0.8x - 70160$），再代入 $f(t)$。这是”函数的复合”在应用题里的自然出场：$y = f(g(x))$。

三步走的细节值得背下来：

1. 先算换算公式：$t = x - 60000 - x(8\% + 2\% + 1\% + 9\%) - 9600 - 560 = 0.8x - 70160$——四个扣减项（基本减除、三险一金比例、专项附加、其他扣除）翻译成代数式；
2. 反推分段端点：令 $t = 0$ 得 $x = 87700$。$t$ 的每一档区间（$0 \sim 36000$、$36000 \sim 144000$……）都要通过 $t = 0.8x - 70160$ 换算成 $x$ 的区间（$87700 \sim 132700$、$132700 \sim 267700$……）——这是本题最易错的一步：$y$ 的分段区间不是按 $x$ 均分，是按 $t$ 的档位反解出来的；
3. 代入前先确认落在哪段：$x = 153600$ 落在第三段 $132700 < x \leqslant 267700$，用 $y = 0.08x - 9536$，得 $y = 0.08 \times 153600 - 9536 = 2752$（元）。

课本把它整理成一张八段的分段函数表（④式），每一段的系数都是”税率 × 0.8、常数 = 速算扣除数折算”。不需要背这张表，要会走”换算 → 反推端点 → 分段代入”这条流程——这正是分段函数应用题的通用解法。

三、例 2 汽车行程：读图 + 分段

例 2 的图 3.4-1 是速率-时间图：五个时间段（$[0,1)$、$[1,2)$、$[2,3)$、$[3,4)$、$[4,5]$）的速率分别是 50、80、90、75、65 km/h。

(1) 问阴影面积：$50 \times 1 + 80 \times 1 + 90 \times 1 + 75 \times 1 + 65 \times 1 = 360$。它的实际含义是汽车在这 5 h 内行驶的路程 360 km——“速率 × 时间 = 路程”，在图上就是”高 × 宽 = 矩形面积”。这是高中第一个”曲线下面积 = 物理量”的例子（第 5 章还会见到积分思想的雏形）。

(2) 问里程表读数：$s(t)$ = 2004（出发前读数）+ 累计路程。每段的起点读数就是上一段的终点值：

注意每段写成 $v(t - t_0) + s_0$ 的形式——$t_0$ 是该段的起始时刻、$s_0$ 是该段起始时的读数（2004 → 2054 → 2134 → 2224 → 2299，逐段累加）。分段函数应用题里，段与段之间的”接续”最容易出错：上一段末的读数要算准，下一段才能接得上。

四、习题里的应用类型：一张清单

本节的练习和习题 3.4 一共 8 道，覆盖了函数应用最常见的四种题型，做题时先认出是哪一类：

1. 二次函数最值：练习第 2 题（周长 $l$ 的矩形面积最大——取正方形，$S_{\max} = \frac{l^2}{16}$）、习题第 2 题（蓄水池造价最小——化为 $x + \frac{200}{x}$ 的不等式）。核心动作：把目标量写成一个变量的二次函数（或分式），用顶点/配方/均值不等式；
2. 一次函数 + 盈亏分析：练习第 3 题（成本、收入、利润四条直线，盈亏平衡点 1500 件）、习题第 1 题（行程的分段直线）、习题第 4 题（收支差额读图）。核心动作：$y = kx + b$ 里截距是固定成本、斜率是每件（每人）的边际贡献；
3. 分段函数模型：习题第 1 题（去程/停留/返程三段）、习题第 3 题（阶梯水价）。核心动作：找分界点、每段写解析式、算总额时先判断落在哪段；
4. 数据拟合：习题第 5 题（弹簧伸长长度与拉力）。核心动作：描点 → 观察近似直线 → 写解析式（拟合不要求精确通过每个点，“基本反映”即可）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节没有直接考过节的真题——“函数的应用”不是独立考点，它的能力（审题、建模、分段、读图）渗透在每一道函数应用题里。最典型的化身是分段函数应用题（如 2013 年浙江第 11 题”超载罚款”、2014 年浙江第 16 题”水位流量”类），考的都是本节练的”找分界点、逐段写式、分段代入”。把本节四类题型练熟，这些题就只剩审题功夫。

六、怎么读这一节

1. 先把建模四步背下来（设变量 → 列式 → 求解 → 解读），做题时按步骤写，不跳步；
2. 独立重算例 1：把八段分段函数的端点推导一遍（$87700$、$132700$、$267700$ 这些数怎么从 $t$ 的档位来），再代入 $x = 153600$ 验算 $2752$；
3. 独立重画例 2 的 $s$-$t$ 图象（五段折线，注意每段斜率就是该段速率），体会”面积 = 路程”；
4. 做练习第 3 题（成本利润四直线）和习题第 3 题（阶梯水价）——这两题是”一次函数盈亏分析”和”分段函数”的代表；
5. 有余力做习题第 5 题（弹簧拟合）：描点画图、看趋势、写解析式——提前体验”用数据找规律”，这是下一章指数、对数模型的地基。

下一节进入第 3 章收尾（小结、复习参考题 3），再往后第 4 章指数函数与对数函数——那里你会看到”变化率”不同的函数模型（增长越来越快的指数、增长越来越慢的对数），建模套路还是本节这四步。

本节页面覆盖第 100–103 页（第 104 页起为「文献阅读与数学写作」活动与章级「小结」「复习参考题 3」，不在习题之列），课本习题共 8 道：第 102 页「练习」3 道、「习题 3.4」5 道（综合运用 3 道、拓广探索 2 道），逐题全做。第 3 题的计费表、第 4 题的三幅图、第 5 题的数据表都在插图中，解答按图读出。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 102 页）第 1 题

1. 若用模型 $y=ax^{2}$ 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y (单位: m) 与刹车时的速率 x (单位: km/h) 的关系，而某种型号的汽车在速率为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m. 在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？

先由已知数据定出模型中的参数 $a$：速率为 60 km/h 时滑行 20 m，代入 $y = ax^2$：

所以滑行距离与速率的关系为

这辆车滑行了 50 m，反解速率：

因为 $94.9 < 100$，所以这辆车没有超速。

自检：$a = \frac{1}{180}$，单位核对：$y$ 单位 m、$x$ 单位 km/h，$a$ 的单位是 $\frac{\mathrm{m}}{(\mathrm{km/h})^2}$。$\sqrt{9000} = 30\sqrt{10} \approx 94.87$，离限速 100 还差约 5 km/h，结论不超速 ✓。这题是”用模型 + 反解”：给模型、给一组数据求参数，再用模型判断另一个数据。

练习（第 102 页）第 2 题

2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为 $l$ （单位： $\mathrm{m}$ )的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

设广告牌的长为 $a$（单位：m），则宽为 $\frac{l}{2} - a$，面积

配方后是开口向下的二次函数，顶点在 $a = \frac{l}{4}$ 处取最大值：

长等于宽，即设计成正方形，最大面积为

自检：$a$ 的取值范围是 $0 < a < \frac{l}{2}$，顶点 $a = \frac{l}{4}$ 在区间内部 ✓。二次函数最值应用题的标准动作：设一个变量、把目标量配成二次函数、找顶点。“周长固定时面积最大的是正方形”——这个结论在初中就见过，这里用配方给了证明。

练习（第 102 页）第 3 题

3. 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元. 若该公司所生产的产品全部销售出去，则

（1）设总成本为 $y_{1}$ （单位：万元），单位成本为 $y_{2}$ （单位：万元），销售总收入为 $y_{3}$ （单位：万元），总利润为 $y_{4}$ （单位：万元），分别求出它们关于总产量 $x$ （单位：件）的函数解析式；

(2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.

(1) 注意单位：2500 元/件 = 0.25 万元/件，3500 元/件 = 0.35 万元/件。

• 总成本：固定成本 + 可变成本，$y_1 = 150 + 0.25x$；
• 单位成本：总成本 ÷ 产量，$y_2 = \dfrac{y_1}{x} = \dfrac{150}{x} + 0.25$（$x > 0$）；
• 销售总收入：$y_3 = 0.35x$；
• 总利润：收入 − 成本，$y_4 = y_3 - y_1 = 0.35x - (150 + 0.25x) = 0.1x - 150$。

(2) 四条函数都是 $x$ 的一次函数（$y_2$ 是反比例 + 常数），图象都是直线（$y_2$ 是曲线），关键读数：

• 盈亏平衡点：令 $y_4 = 0$，得 $x = \frac{150}{0.1} = 1500$ 件。产量小于 1500 件时 $y_4 < 0$（亏损），等于 1500 件时收支平衡，大于 1500 件时 $y_4 > 0$（盈利），且每多生产 1 件利润增加 0.1 万元；
• 单位成本随产量递减：$y_2 = \frac{150}{x} + 0.25$ 随 $x$ 增大单调下降，趋近 0.25 万元——固定成本被摊薄，产量越大单位成本越低，这是”规模效应”的数量刻画。

自检：$y_1$ 的图象是过 $(0, 150)$、斜率为 0.25 的直线（截距 = 固定成本）；$y_3$ 的图象是过原点、斜率为 0.35 的直线；$y_4$ 是斜率为 0.1 的直线，与 $x$ 轴交于 $(1500, 0)$ ✓。两线 $y_1$ 与 $y_3$ 的交点横坐标就是盈亏平衡点 $1500$（$150 + 0.25x = 0.35x \Rightarrow x = 1500$），两种看法一致。

习题 3.4 第 1 题

1. 某人开汽车以 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速率从 A 地到 $150 \mathrm{~km}$ 远处的 B 地，在 B 地停留 $1 \mathrm{~h}$ 后，再以 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速率返回 A 地. 把汽车与 A 地的距离 $x$ (单位: $\mathrm{km}$) 表示为时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$) (从 A 地出发时开始) 的函数；再把车速 $v$ (单位: $\mathrm{km} / \mathrm{h}$) 表示为时间 $t$ 的函数，并分别画出这两个函数的图象.

去程：$150 \div 60 = 2.5$ h 到达 B 地，$t \in [0, 2.5]$ 时 $x = 60t$； 停留：$t \in [2.5, 3.5]$（1 h）时 $x = 150$ 不变； 返程：$150 \div 50 = 3$ h，$t \in [3.5, 6.5]$ 时 $x = 150 - 50(t - 3.5)$。

所以

速度（以出发方向为正，返程取负）：

（如果只要求速率大小，返程取 50 即可。）

图象：$x$-$t$ 图是”上升段（斜率 60）→ 水平段（$x = 150$）→ 下降段（斜率 $-50$）“的折线；$v$-$t$ 图是三段水平线（$60$、$0$、$-50$）。

自检：$t = 2.5$ 时去程 $x = 150$、停留段起点 $x = 150$，两段衔接 ✓；$t = 3.5$ 时返程起点 $x = 150 - 0 = 150$ ✓；$t = 6.5$ 时 $x = 150 - 50 \times 3 = 0$，回到 A 地 ✓。分段函数应用题的关键是”接续”——上一段末值 = 下一段初值。

习题 3.4 第 2 题

2. 要建造一个容积为 $1200 \mathrm{~m}^{3}$, 深为 $6 \mathrm{~m}$ 的长方体无盖蓄水池, 池壁的造价为 $95 \mathrm{~\text{元}} / \mathrm{m}^{2}$, 池底的造价为 $135 \mathrm{~\text{元}} / \mathrm{m}^{2}$, 如何设计水池的长与宽, 才能使水池的总造价控制在 7 万元以内 (精确到 $0.1 \mathrm{~m}$)?

容积 $1200\ \mathrm{m^3}$、深 $6\ \mathrm{m}$，所以底面积为 $1200 \div 6 = 200\ \mathrm{m^2}$。设长为 $x$，则宽为 $\frac{200}{x}$（$x > 0$）。

• 池底造价：$200 \times 135 = 27000$ 元；
• 池壁面积：四个侧面 $2 \times 6x + 2 \times 6 \times \frac{200}{x} = 12\left(x + \frac{200}{x}\right)$，造价 $95 \times 12\left(x + \frac{200}{x}\right) = 1140\left(x + \frac{200}{x}\right)$ 元；
• 总造价：$C(x) = 27000 + 1140\left(x + \frac{200}{x}\right)$ 元。

控制在 7 万元（70000 元）以内：

$x > 0$ 时两边乘 $x$：

解对应方程 $x^2 - 37.72x + 200 = 0$：判别式 $37.72^2 - 800 \approx 622.8$，$\sqrt{622.8} \approx 24.96$，两根为

二次函数开口向上，所以解为 $6.38 \leqslant x \leqslant 31.34$，精确到 0.1 m：

宽 $\frac{200}{x}$ 随 $x$ 从 31.3 降到 6.4——长与宽都在 $6.4\ \mathrm{m}$ 到 $31.3\ \mathrm{m}$ 之间（且互为 $200$ 除以对方）。例如长 10 m、宽 20 m（$200 \div 10$）在范围内，造价 $27000 + 1140 \times 30 = 61200$ 元，不足 7 万 ✓。

自检：边界核对——$x = 6.38$ 或 $31.34$ 时 $x + \frac{200}{x} \approx 37.72$，总造价恰好 $\approx 70000$ 元；范围内略少。验证 $x = 10$：$C = 27000 + 1140 \times 30 = 61200 < 70000$ ✓。本题的模型是 $x + \frac{k}{x}$（$k = 200$）——它在 $x = \sqrt{k} \approx 14.1$ 处取最小值，但题目只要”控制在 7 万以内”（不等式），所以是区间答案而不是唯一最值。

习题 3.4 第 3 题

3. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”。计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量.

计费方法表是插图（课本第 103 页），数据按图读出，分三档：

48 元落在哪一档？先算各档满额的累计水费：第一档满 12 m³ 需 $12 \times 3 = 36$ 元；若到第三档，第二档满额还需 $6 \times 6 = 36$ 元，累计至少 $72$ 元。因为

所以这户用水的量超过 12 m³、不超过 18 m³，超出部分按第二档 6 元/m³ 计费：

用水量

自检：验证——$14\ \mathrm{m^3}$ 中前 12 m³ 收 $3 \times 12 = 36$ 元、后 2 m³ 收 $6 \times 2 = 12$ 元，合计 48 元 ✓，与题给水费一致。这题是分段函数模型的反向使用：给了”函数值”反求”自变量”，必须先判断函数值落在哪一段。

习题 3.4 第 4 题

4. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额 y 关于乘客量 x 的图象.

（1）试说明图（1）上点 A，点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；

(2) 由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 (2)(3) 所示. 你能根据图象, 说明这两种建议是什么吗?

三幅图是插图（课本第 103 页），读图结果先交代：图 (1) 中直线向右上方倾斜（斜率 > 0）；点 A 在 y 轴的负半轴上，约为 $(0, -1)$——纵坐标是负的；点 B 在 x 轴的正半轴上，约为 $(2, 0)$——纵坐标为 0。图 (2) 与图 (1) 相比是平行移动（斜率不变、直线整体上移、与 y 轴交点上移）；图 (3) 与图 (1) 相比是变陡（绕点 A 旋转、斜率变大、与 y 轴交点仍是 A）。

(1)

• 点 A：乘客量为 0 时的收支差额——一个人都不载，只有支出没有收入，所以差额为负（图中读出约 $-1$，即亏损 1 个单位），它就是固定支出（固定成本）的体现；
• 点 B：收支差额为 0 时的乘客量（图中读出约 2）——此时收入恰好等于支出，是收支平衡点：乘客量小于 B 时亏损、大于 B 时盈利；
• 射线 AB 上的点：从 A 到 B 再到更远，收支差额随乘客量线性增长——每增加一名乘客，收支差额增加一个固定的数额（直线的斜率 = 每位乘客带来的净收入，即票价 − 每人平均可变成本）。AB 段上的点表示”虽亏损但比 A 时亏损少”，B 处恰好平衡，射线越过 B 的点表示盈利。

(2) 比较图 (2)、图 (3) 与图 (1) 的差别，各自对应的建议：

• 图 (2)：平行上移 = 降低成本。斜率不变说明票价没动（每位乘客的净收入不变），但整条线上移说明”乘客量为 0 时的亏损变小”——即固定成本降低了（比如精简人员、压缩车场等固定开支），同样的乘客量下差额都比原来高；
• 图 (3)：变陡 = 提高票价。绕点 A 旋转、斜率变大说明”乘客量为 0 时的亏损不变”（固定成本没动），但每多一名乘客带来的收入差额增大了——即每位乘客的净收入提高了，通常是提高票价（或降低每人平均可变成本）。

自检：两种建议的判定口诀——“平行移动看截距（固定成本），旋转变陡看斜率（票价/边际）“。图 (2) 无乘客时亏损变小 → 成本降；图 (3) 斜率变大 → 票价涨。两种建议都能让 B 点（盈亏平衡点）左移，即用更少的乘客量就能扭亏，但机制不同。

习题 3.4 第 5 题

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.

本题的完整题面为”5. 下表是拉力 F（单位：N）与弹簧伸长长度 x（单位：cm）的相关数据：<表格> 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。“——题号、引语与数据表格都在课本第 103 页的插图上，表格数据按图读出：

描点画图：在 $F$-$x$ 坐标系里描出五个点 $(1, 14.2)$、$(2, 28.8)$、$(3, 41.3)$、$(4, 57.5)$、$(5, 70.2)$。五个点大致落在一条直线上（拉力为 0 时伸长长度应为 0，直线可认为过原点），说明 $x$ 与 $F$ 近似成正比——这正是胡克定律：弹性限度内弹簧的伸长量与拉力成正比。

写解析式：用最小二乘思想求过原点的最佳直线 $x = kF$，斜率

所以

（如果只取两点 $(1, 14.2)$ 与 $(5, 70.2)$ 估斜率，得 $k = \frac{70.2 - 14.2}{4} = 14$，写 $x \approx 14F$ 也可以——“基本反映”不要求精确通过每个点。）

自检：拟合值与实测值对照——$F = 3$ 时 $14.12 \times 3 \approx 42.4$（实测 41.3，差 1.1 cm）；$F = 4$ 时 $14.12 \times 4 \approx 56.5$（实测 57.5，差 1.0 cm）；$F = 5$ 时 $14.12 \times 5 = 70.6$（实测 70.2，差 0.4 cm）。最大偏差约 1 cm，相对于十几厘米的伸长量在 7% 以内，算是”基本反映” ✓。本题体验的是数据拟合的第一种形态：描点 → 看出线性趋势 → 写近似解析式；第 4 章指数、对数模型是它的升级版。