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3.4 函数的应用（一）

我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。

例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为 $x$ （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 $y$ （单位：元）.

(1) 求 y 关于 x 的函数解析式;

（2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

分析：根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额 $t$ 关于综合所得收入额 $x$ 的解析式 $t = g(x)$，再结合 $y = f(t)$ 的解析式③，即可得出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式.

解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得

$\begin{array}{r l} t & = x - 6 0 0 0 0 - x (8 \% + 2 \% + 1 \% + 9 \%) - 9 6 0 0 - 5 6 0 \\ & = 0. 8 x - 7 0 1 6 0. \end{array}$

令 $t = 0$ ，得 $x = 87700$

根据个人应纳税所得额的规定可知，当 $0 \leqslant x \leqslant 87700$ 时，$t = 0$。所以，个人应纳税所得额 $t$ 关于综合所得收入额 $x$ 的函数解析式为

$t = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & 0 \leqslant x \leqslant 8 7 7 0 0, \\ 0. 8 x - 7 0 1 6 0, & x > 8 7 7 0 0. \end{array} \right.$

结合 3.1.2 例 8 的解析式③，可得：

当 $0 \leqslant x \leqslant 87\ 700$ 时，t = 0，所以 y = 0；

当 $87\ 700 < x \leqslant 132\ 700$ 时， $0 < t \leqslant 36\ 000$ ，所以

$y = t \times 3\% = 0.024x - 2104.8;$

当 $132700 < x \leqslant 267700$ 时，$36000 < t \leqslant 144000$，所以

$y = t \times 10\% - 2520 = 0.08x - 9536;$

当 $267700 < x \leqslant 462700$ 时，$144000 < t \leqslant 300000$，所以

$y = t \times 20\% - 16920 = 0.16x - 30952;$

当 $462700 < x \leqslant 612700$ 时，$300000 < t \leqslant 420000$，所以

$y = t \times 25\% - 31920 = 0.2x - 49460;$

当 $612700 < x \leqslant 912700$ 时，$420000 < t \leqslant 660000$，所以

$y = t \times 30\% - 52920 = 0.24x - 73968;$

当 $912700 < x \leqslant 1287700$ 时，$660000 < t \leqslant 960000$，所以

$y = t \times 35\% - 85\ 920 = 0.28x - 110\ 476;$

当 $x > 1287700$ 时， $t > 960000$ ，所以

$y = t \times 45\% - 181\ 920 = 0.36x - 213\ 492.$

所以，函数解析式为

y = \left\{ \begin{array}{l} 0, 0 \leqslant x \leqslant 8 7 7 0 0, \\ 0. 0 2 4 x - 2 1 0 4. 8, 8 7 7 0 0 < x \leqslant 1 3 2 7 0 0, \\ 0. 0 8 x - 9 5 3 6, 1 3 2 7 0 0 < x \leqslant 2 6 7 7 0 0, \\ 0. 1 6 x - 3 0 9 5 2, 2 6 7 7 0 0 < x \leqslant 4 6 2 7 0 0, \\ 0. 2 x - 4 9 4 6 0, 4 6 2 7 0 0 < x \leqslant 6 1 2 7 0 0, \\ 0. 2 4 x - 7 3 9 6 8, 6 1 2 7 0 0 < x \leqslant 9 1 2 7 0 0, \\ 0. 2 8 x - 1 1 0 4 7 6, 9 1 2 7 0 0 < x \leqslant 1 2 8 7 7 0 0, \\ 0. 3 6 x - 2 1 3 4 9 2, x > 1 2 8 7 7 0 0. \end{array} \right.\tag{④}

(2) 根据④，当 x=153 600 时，

$y = 0. 0 8 \times 1 5 3 6 0 0 - 9 5 3 6 = 2 7 5 2.$

所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 2 752 元.

根据个人收入情况，利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税.

例 2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 v (单位: km/h) 与时间 t (单位: h) 的关系如图 3.4-1 所示,

（1）求图 3.4-1 中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 $2004 \mathrm{~km}$, 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 $s$ (单位: $\mathrm{km}$) 与时间 $t$ 的函数解析式, 并画出相应的图象.

你能根据图 3.4-1 画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？

分析：当时间 $t$ 在[0，5]内变化时，对于任意的时刻 $t$ 都有唯一确定的行驶路程与之相对应。根据图3.4-1，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为 $50\mathrm{km / h}$，$80\mathrm{km / h}$，$90\mathrm{km / h}$，$75\mathrm{km / h}$，$65\mathrm{km / h}$，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。

解：（1）阴影部分的面积为

$5 0 \times 1 + 8 0 \times 1 + 9 0 \times 1 + 7 5 \times 1 + 6 5 \times 1 = 3 6 0.$

阴影部分的面积表示汽车在这 $5 \, h$ 内行驶的路程为 $360 \, km$ .

(2) 根据图 3.4-1，有

$s = \left\{ \begin{array}{l l} 5 0 t + 2 0 0 4, & 0 \leqslant t < 1, \\ 8 0 (t - 1) + 2 0 5 4, & 1 \leqslant t < 2, \\ 9 0 (t - 2) + 2 1 3 4, & 2 \leqslant t < 3, \\ 7 5 (t - 3) + 2 2 2 4, & 3 \leqslant t < 4, \\ 6 5 (t - 4) + 2 2 9 9, & 4 \leqslant t \leqslant 5. \end{array} \right.$

这个函数的图象如图 3.4-2 所示.

图3.4-2

本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助。因此，我们要注意提高读图能力。另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数。

练习

1. 若用模型 $y=ax^{2}$ 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 y (单位: m) 与刹车时的速率 x (单位: km/h) 的关系，而某种型号的汽车在速率为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m. 在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？

2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为 $l$ （单位： $\mathrm{m}$ )的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

3. 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元. 若该公司所生产的产品全部销售出去，则

（1）设总成本为 $y_{1}$ （单位：万元），单位成本为 $y_{2}$ （单位：万元），销售总收入为 $y_{3}$ （单位：万元），总利润为 $y_{4}$ （单位：万元），分别求出它们关于总产量 $x$ （单位：件）的函数解析式；

(2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.

习题3.4

综合运用

1. 某人开汽车以 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速率从 A 地到 $150 \mathrm{~km}$ 远处的 B 地，在 B 地停留 $1 \mathrm{~h}$ 后，再以 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速率返回 A 地. 把汽车与 A 地的距离 $x$ (单位: $\mathrm{km}$) 表示为时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$) (从 A 地出发时开始) 的函数；再把车速 $v$ (单位: $\mathrm{km} / \mathrm{h}$) 表示为时间 $t$ 的函数，并分别画出这两个函数的图象.

2. 要建造一个容积为 $1200 \mathrm{~m}^{3}$, 深为 $6 \mathrm{~m}$ 的长方体无盖蓄水池, 池壁的造价为 $95 \mathrm{~元} / \mathrm{m}^{2}$, 池底的造价为 $135 \mathrm{~元} / \mathrm{m}^{2}$, 如何设计水池的长与宽, 才能使水池的总造价控制在 7 万元以内 (精确到 $0.1 \mathrm{~m}$)?

3. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”。计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量.

拓广探索

4. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额 y 关于乘客量 x 的图象.

（1）试说明图（1）上点 A，点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；

(2) 由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 (2)(3) 所示. 你能根据图象, 说明这两种建议是什么吗?

(1)

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.

文献阅读与数学写作

函数的形成与发展

自17世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置。数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学、物理和其他学科中，函数关系随处可见。例如，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，等等。

如果用心搜集、广泛阅读、仔细观察，那么就会在很多书籍、网页中发现有关函数的介绍，也能在生活中发现许多函数应用的实例。

请同学们根据下面的建议和参考选题，通过自主活动，了解函数的发展历程及其广泛应用。

一、目标

1. 了解函数形成、发展的历史.

2. 体验文献综述的写作过程与方法.

二、实施建议

1. 确定选题：根据个人兴趣初步确定选题范围，明确阅读方向，拟定写作题目.

2. 搜集资料：针对写作题目，通过查阅书籍、上网等方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料。

3. 素材整理：认真分析素材，按照一定的主题进行归纳概括，并用文献综述的方式形成读书报告.

4. 交流讨论：开展组内或全班交流、讨论和总结.

三、参考选题

1. 函数产生的社会背景.

2. 函数概念发展的历史过程.

3. 函数符号的故事.

4. 数学家与函数.

众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨和欧拉等。可以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。

可以从以上选题中选择一个，也可以采用自己的题目。

四、文献综述的结构

1. 标题.

2. 提要或前言：简要介绍研究意义；介绍搜集的资料范围及资料来源，包括查阅了哪些主要著作、查询了哪些网络资料库（如中国学术期刊全文数据库、中国学位论文全文数据库等），搜索到的相关论文的篇目数量等。

3. 正文：这是文献综述的核心部分。应在归类整理的基础上，对自己搜集到的有用资料进行系统介绍。

4. 参考文献：列出所有参考文献，并按论文中的参考文献的格式将作者名、文献名、文献页码、文献出处、时间等信息全面标示出来。

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念。与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质：两个数集之间的一种确定的对应关系；明确了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域；引入了函数符号： $y=f(x)$ 。与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。

函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等。在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。

研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求。例如：事物的变化趋势，用料最省、利润最大、效率最高，对称性等，这些特性反映在函数上，就是函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等。在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观（观察图象）入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征。研究某个函数的性质，则要利用单调性、奇偶性等定义，通过推理、运算来实现。这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法。

本章的学习对后面研究有关函数问题具有指导作用，我们可以按照下面的“逻辑图”获得研究内容：

例如，一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1. 通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识？

2. 你能结合具体实例，分析、比较函数的各种表示方法的特点吗？

3. 函数的性质一般包括哪些方面？为什么要研究这些性质？你能总结一下研究函数性质的一般过程和方法吗？

复习参考题3

复习巩固

1. 求下列函数的定义域：

(1) $y=\sqrt{x-2}\sqrt{x+5}$ ;

(2) $y = \frac{\sqrt{x - 4}}{|x| - 5}$.

2. 已知函数 $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$，求：

(1) $f(a)+1(a\neq-1)$ ;

(2) $f(a + 1)(a\neq -2)$

3. 设 $f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$，求证：

(1) $f(-x)=f(x)$;

(2) $f\left(\frac{1}{x}\right) = -f(x) (x \neq 0).$

4. 已知函数 $f(x) = 4x^{2} - kx - 8$ 在 [5, 20] 上具有单调性，求实数 $k$ 的取值范围.

5. 已知幂函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $\left(2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.

6. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 R（单位：元）关于月产量 x（单位：台）满足函数：

$R = \left\{ \begin{array}{l l} 4 0 0 x - \frac {1}{2} x ^ {2}, 0 \leqslant x \leqslant 4 0 0, \\ 8 0 0 0 0, x > 4 0 0. \end{array} \right.$

(1) 将利润 P(单位：元) 表示为月产量 x 的函数；

(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

综合运用

7. 已知函数 $f(x) = \begin{cases} x(x + 4), & x \geqslant 0, \\ x(x - 4), & x < 0, \end{cases}$ 求 $f(1), f(-3), f(a + 1)$ 的值.

8. 证明：

(1) 若 $f(x)=ax+b$ ，则 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ ;

(2) 若 $g(x) = x^{2} + ax + b$，则 $g\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leqslant \frac{g(x_1) + g(x_2)}{2}$.

9.（1）已知奇函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减？

(2) 已知偶函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，那么它在 $[-b, -a]$ 上单调递增还是单调递减？

10. 某地区上年度电价为 0.8 元/(kW·h)，年用电量为 a kW·h，本年度计划将电价下降到 0.55 元/(kW·h) 至 0.75 元/(kW·h) 之间，而用户期望电价为 0.4 元/(kW·h)。经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 k）。该地区的电力成本价为 0.3 元/(kW·h)。

（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益 y（单位：元）关于实际电价 x（单位：元/(kW·h)）的函数解析式；（收益=实际电量×（实际电价-成本价））

（2）设 $k = 0.2a$ ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20\%$ ？

拓广探索

11. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）。下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？

12. 试讨论函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.

13. 如图，$\triangle OAB$ 是边长为 2 的正三角形，记 $\triangle OAB$ 位于直线 $x = t (t > 0)$ 左侧的图形的面积为 $f(t)$。试求函数 $y = f(t)$ 的解析式，并画出函数 $y = f(t)$ 的图象。

14. 某商场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x（单位：元）与日销售量 y（单位：件）之间有如下表所示的关系.

(1) 根据表中提供的数据描出实数对 $(x, y)$ 的对应点，根据画出的点猜想 y 与 x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；

(2) 设经营此商品的日销售利润为 P（单位：元），根据上述关系，写出 P 关于 x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.

第四章指数函数与对数函数

良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现。这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年～前2300年。你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数。指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。

通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法。在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。