3.3 幂函数

这一节（3.3 幂函数）研究一类新函数：形如 $y = x^\alpha$ 的函数。上一节刚学会用”定义域、对应关系、图象”研究函数，本节就拿这套方法练手——研究五个具体的幂函数（$\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$），归纳出一类函数的共同性质。学完这一节，你要能：认出一个函数是不是幂函数；说出 $y = x^\alpha$ 在 $\alpha$ 取不同值时的图象走向和性质；用单调性、奇偶性的定义证明一个幂函数的性质。

一、幂函数：以幂的底数为自变量

课本开头给了五个实例：买菜的支付 $p = w$（1 元/kg 买 $w$ kg）、正方形面积 $S = a^2$、立方体体积 $V = b^3$、正方形边长 $c = \sqrt{S} = S^{\frac{1}{2}}$、骑车速度 $v = t^{-1}$。它们的共同特征：都是”幂的形式”，幂的底数是自变量，指数是常数。

一般地，函数 $y = x^\alpha$ 叫做幂函数，其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。

注意三个容易混淆的点：

1. 幂函数与指数函数（第 4 章）的区别：幂函数是底数是变量、指数是常数（$y = x^2$）；指数函数是底数是常数、指数是变量（$y = 2^x$）。位置颠倒，性质天差地别。
2. 系数必须是 1：$y = 2x^2$ 不是幂函数（课本研究的幂函数要求 $y = x^\alpha$ 这种标准形，系数 1）。这是判断题的考点。
3. 只研究五个：$\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$。$\alpha$ 是其他实数时幂也有意义（如 $x^{\sqrt{2}}$），但那是后面的事，本节只研究这五个。

二、五个函数的图象与性质：一张表背下来

在同一直角坐标系里画 $y = x$，$y = x^2$，$y = x^3$，$y = x^{\frac{1}{2}}$，$y = x^{-1}$（图 3.3-1），从图象归纳出四条结论：

1. 都过点 $(1, 1)$——$1^\alpha = 1$ 对一切 $\alpha$ 成立，这是幂函数共有的公共点；
2. 奇偶性：$y = x$，$y = x^3$，$y = x^{-1}$ 是奇函数，$y = x^2$ 是偶函数——指数为奇数/负奇数是奇函数，指数为偶数是偶函数（$y = x^{\frac{1}{2}}$ 定义域非对称，非奇非偶）；
3. 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性：$\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}$ 时递增，$\alpha = -1$ 时递减——指数为正，第一象限递增；指数为负，第一象限递减；
4. $y = x^{-1}$ 的图象（反比例双曲线）：在第一象限向上与 $y$ 轴无限接近、向右与 $x$ 轴无限接近——渐近线概念的第一个实例。

再补一条课本没有明说但最常用的判据：当 $\alpha > 1$ 时，$x \in (0, 1)$ 内 $x^\alpha < x$，$x > 1$ 内 $x^\alpha > x$；当 $0 < \alpha < 1$ 时正好相反（想想 $0.5^2 = 0.25 < 0.5$，而 $\sqrt{0.5} > 0.5$）。它在比较大小题里一句话就能定方向。

再补一条读图用的判据，它和上面第 3 条是两件事，必须分开记：

升降只看指数的正负：$\alpha>0$ 就在 $[0,+\infty)$ 上恒增，$\alpha<0$ 就在 $(0,+\infty)$ 上恒减。 凹凸才看指数与 $1$ 的大小：$\alpha>1$ 是下凸（出了原点先贴着 $x$ 轴走，越走越陡，如 $y=x^{2}$、$y=x^{3}$）； $0<\alpha<1$ 是上凸（出了原点先陡冲，再慢下来，如 $y=x^{\frac12}$）；$\alpha=1$ 是直线。

把这两句混成一句——比如记成「指数大就增得快，所以图象往上翘」——在识图题里必错： $y=x^{2}$ 与 $y=x^{\frac12}$ 都在往上走，分开它们的不是升降，是弯的方向。 第一象限里这两条恰好互为镜像（关于直线 $y=x$ 对称，因为 $x^{2}$ 与 $x^{\frac12}$ 互为反函数）， 一个向下弯、一个向上弯，看一眼就能定 $\alpha$ 在 $1$ 的哪一侧。

三、证明工具：定义 + 作差（作商）

课本例子的示范是”用定义证明 $f(x) = \sqrt{x}$ 是增函数”——这是 §3.2 单调性定义的标准用法，值得背下来：

$$f(x_1) - f(x_2) = \sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}.$$

设 $x_1 < x_2$，分子 $x_1 - x_2 < 0$，分母为正，所以 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$，增函数得证。关键动作是”分子有理化”——把 $\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$ 化成 $\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}$，差的正负一眼看出。

幂函数证明的通用套路（习题第 3 题用得上）：判断奇偶性直接代入 $f(-x)$ 化简；判断单调性作差后，把 $x_1^a - x_2^a$ 因式分解（如 $x_1^2 - x_2^2 = (x_1-x_2)(x_1+x_2)$、$x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$，对 $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 > 0$ 需要配方说明），再判定符号。

四、易错清单（按失分频率排）

1. 幂函数 vs 指数函数混淆。 $y = x^a$（底数变）是幂函数，$y = a^x$（指数变）是指数函数——看”谁在动”。
2. 系数不是 1 硬认成幂函数。 $y = 2x^3$、$y = (2x)^3 = 8x^3$ 都不是本节定义的幂函数（$y = x^3$ 才是）。
3. $y = x^{-1}$ 的渐近线理解成”相交”。 “无限接近”是越来越近但永不相交；“向上与 $y$ 轴无限接近”意味着 $x \to 0^+$ 时函数值爆炸式增大，这个直觉在后面的函数里反复出现。
4. 比较大小直接代数值。 用性质比较（练习第 2 题）：$x < 0$ 时 $x^3$ 是奇函数/递增，$x^{-1}$ 是负的——先定符号再定大小，别硬算 $(-1.5)^3$。
5. 同一个字母在两处出现，却分开判。 题目里 $x^{a}$ 与 $\log_{a}x$ 用的是同一个 $a$，不是两个各自可取的参数。一处读出 $a>1$、另一处读出 $0<a<1$，那不是「两种情况」，是这一组根本不存在——每处读出的范围最后必须求交。这正是下一节说的 2014 浙江第 7 题的全部内容。
6. 证明单调性忘了定义域。 幂函数的定义域随 $\alpha$ 不同而不同（$\sqrt{x}$ 是 $[0, +\infty)$、$x^{-1}$ 是 $x \neq 0$），证明前先写定义域，作差后分类讨论符号（习题第 3 题的 $f(x) = x^{-2}$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 上单调性不同）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节连着的标准真题是 2014 年浙江第 7 题：在同一直角坐标系中，函数 $f(x)=x^{a}\ (x\geqslant 0)$、$g(x)=\log_{a}x$ 的图象可能是（答案：D）。它用到第 4 章的对数函数，学完 §4.4 再回来做，但它考的看家本领是本节的。

这道题的机关只有一句：两条曲线共用同一个 $a$。 分开看，四张图里每一条曲线单独都是合法的函数图象； 四个选项之所以只剩一个，全靠「合起来」这一层。于是解题动作固定成三步：

1. 先定 $a$ 的合法范围。 $\log_{a}x$ 要求 $a>0$ 且 $a\neq 1$。$a>0$ 这一条顺带把幂函数也管住了—— 由本节第 3 条，$x^{a}$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒增，所以任何一张画着「幂函数往下走」的图都不用再看。
2. 每张图分别读出两个范围。 幂函数那条靠凹凸读：下凸 $\Rightarrow a>1$，上凸 $\Rightarrow 0<a<1$； 对数那条靠升降读：递增 $\Rightarrow a>1$，递减 $\Rightarrow 0<a<1$。
3. 求交。 于是正确的图必然是「下凸 $+$ 递增」或者「上凸 $+$ 递减」；一个说 $a>1$、另一个说 $0<a<1$ 的当场淘汰。

四个选项恰好是这四种搭配的排列：一张压根没有从原点起步的曲线（那条从 $(0,1)$ 起步的是指数函数， 不是幂函数——$x^{a}$ 要么过原点、要么在 $x=0$ 处没定义，没有第三种可能）， 两张是打架的组合，只有一张对得上。

顺带记住一条反面经验：四张图的对数曲线都在 $x=1$ 处过 $x$ 轴，幂函数都过 $(1,1)$。 $\log_{a}1=0$ 与 $1^{a}=1$ 对任何合法的 $a$ 都成立，所以这两个定点是四张图共有的， 区分不了任何选项。识图题先花十秒问一句「这四张图到底差在哪」，比盯着一张猜它是谁快得多。

另外，本节末尾的探究（$y = x + \frac{1}{x}$）在真题里也有化身：2015 年浙江第 10 题的左支就是 $x + \frac{2}{x} - 3\ (x \geqslant 1)$ 求最小值——对勾函数 $x + \frac{k}{x}$ 在 $x = \sqrt{k}$ 处取最小值 $2\sqrt{k}$，学完探究内容（用单调性证明）后可以回头做。

六、怎么读这一节

1. 先背定义（底数变、指数常、系数 1）——判断是不是幂函数的三条；
2. 把图 3.3-1（五个函数同坐标系）亲手画一遍，对着表 3.3-1 背四条结论：公共点 $(1, 1)$、奇偶性、$(0, +\infty)$ 上”正增负减”、$y = x^{-1}$ 的渐近线；
3. 学课本例子的分子有理化（$\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}$ 化成分式），这是幂函数证明的标准动作；
4. 做练习第 2 题（比较大小——先定符号再用单调性）和习题第 3 题（$x^{-2}$ 的完整性质讨论：定义域、值域、奇偶性、单调性加证明）——这两题是本节”性质”与”证明”两条主线的代表；
5. 有余力看探究（$y = x + \frac{1}{x}$）：用已学方法研究一个新函数，是”研究函数的一般路径”的完整示范。

下一节 §3.4 把函数用到实际中——用函数描述现实问题、建立模型；再往后第 4 章指数函数、对数函数就是”指数位置”的另一类函数，与本节的幂函数正好对照。

本节页面覆盖第 96–99 页，课本习题共 6 道：第 97–98 页「练习」3 道、「习题 3.3」3 道（复习巩固 1 道、综合运用 2 道），逐题全做。第 99 页「探究」是本节末尾的研究活动（函数 $y = x + \frac{1}{x}$），不属于习题，不在本详解范围。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 97 页）第 1 题

1. 已知幂函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求这个函数的解析式.

设幂函数为

$$f(x) = x^\alpha.$$

图象过点 $(2, \sqrt{2})$，即 $f(2) = \sqrt{2}$：

$$2^\alpha = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}.$$

所以 $\alpha = \frac{1}{2}$，解析式为

$$f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.$$

自检：验证 $f(2) = \sqrt{2}$ ✓。幂函数只有”一个参数 $\alpha$“，一个点就够定它——这正是幂函数解析式”设 $x^\alpha$、代点、解 $\alpha$“三步。

练习（第 97 页）第 2 题

2. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1) $(-1.5)^{3}, (-1.4)^{3}$; (2) $\frac{1}{-1.5}, \frac{1}{-1.4}$.

(1) $x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增（课本结论：$\alpha = 3 > 0$，$(0, +\infty)$ 上递增；结合奇函数在对称区间上单调性一致，$(-\infty, 0)$ 上也递增）。因为 $-1.5 < -1.4$，所以

$$(-1.5)^3 < (-1.4)^3.$$

(2) $\frac{1}{x} = x^{-1}$ 是幂函数，它在 $(0, +\infty)$ 上递减（$\alpha = -1 < 0$），在 $(-\infty, 0)$ 上也递减（奇函数在对称区间上单调性一致；也可以直接想：两个负数，分母绝对值小的倒数绝对值反而大）。因为 $-1.5 < -1.4$，且 $-1.5$、$-1.4$ 同号（都是负的），递减函数随自变量增大而减小，所以

$$\frac{1}{-1.5} > \frac{1}{-1.4}.$$

自检：数值验证——$(-1.5)^3 = -3.375 < (-1.4)^3 = -2.744$ ✓；$\frac{1}{-1.5} = -\frac{2}{3} \approx -0.667$，$\frac{1}{-1.4} = -\frac{5}{7} \approx -0.714$，前者大于后者 ✓。注意第 (2) 问取倒数后不等号方向反转（$-1.5 < -1.4$，倒过来 $>$）——对任何同号非零数 $a < b$，都有 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$（正数、负数都一样），这正是 2.1 节”取倒数看正负”的完整版：同号取倒数方向反转，异号则不反转。

练习（第 97 页）第 3 题

3. 根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 $f(x) = x^3$ 的单调性，并判断其奇偶性.

奇偶性：对任意 $x \in \mathbf{R}$，

$$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x),$$

所以 $f(x) = x^3$ 是奇函数。

单调性：任取 $x_1 < x_2$，作差并因式分解：

$$f(x_1) - f(x_2) = x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2).$$

其中 $x_1 - x_2 < 0$；另一个因式

$$x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \frac{1}{2}\left(x_1^2 + x_2^2\right) + \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 > 0$$

（若 $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 0$ 则配方得 $x_1 = x_2 = 0$，与 $x_1 < x_2$ 矛盾，故恒正）。于是 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。

所以 $f(x) = x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且是奇函数。

自检：作差法的关键在第二个因式的符号——配成”两个平方和”就敢判正。也可以用”在 $(0, +\infty)$ 上递增 + 奇函数 ⇒ 全 $\mathbf{R}$ 递增”缩短论证，但直接用定义（作差）是最完整的证明。

习题 3.3 第 1 题

1. 画出函数 $y = \sqrt{|x|}$ 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.

先化简再画图：$x \geqslant 0$ 时 $y = \sqrt{x}$，$x \leqslant 0$ 时 $y = \sqrt{-x}$。图象是两条光滑曲线拼成的”V 形”：右半支是 $y = \sqrt{x}$（幂函数 $x^{\frac{1}{2}}$ 的图象），左半支是右半支关于 $y$ 轴的对称图形，顶点在原点。

奇偶性：对任意 $x \in \mathbf{R}$，

$$f(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = f(x),$$

所以 $y = \sqrt{|x|}$ 是偶函数。

单调性：$x \geqslant 0$ 时 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增（幂函数 $x^{\frac{1}{2}}$，$\alpha > 0$）；由偶函数图象关于 $y$ 轴对称，$x \leqslant 0$ 时 $y = \sqrt{-x}$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递减。

自检：这题是”分段化简 + 偶函数对称”的组合拳——$\sqrt{|x|}$ 不能直接当 $\sqrt{x}$ 处理，必须先按 $x$ 的符号分段。定义域 $\mathbf{R}$、值域 $[0, +\infty)$ 也可以顺手写出，图象直观可见。

习题 3.3 第 2 题

2. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 v（单位： $cm^{3}/s$ ）与管道半径 r（单位：cm）的四次方成正比.

(1) 写出气体流量 v 关于管道半径 r 的函数解析式；

(2) 若气体在半径为 $3 \, cm$ 的管道中，流量为 $400 \, cm^{3}/s$ ，求该气体通过半径为 r 的管道时，其流量 v 的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 $5\mathrm{cm}$ ，计算该气体的流量（精确到 $1\mathrm{cm}^3 /\mathrm{s})$

(1) 流量与半径的四次方成正比，设比例系数为 $k$（常数，由压力差等条件决定）：

$$v = kr^4\qquad (r > 0).$$

(2) 代入 $r = 3$、$v = 400$：

$$400 = k \cdot 3^4 = 81k,\qquad k = \frac{400}{81}.$$

所以

$$v = \frac{400}{81}\,r^4\qquad (r > 0).$$

(3) 代入 $r = 5$：

$$v = \frac{400}{81} \times 5^4 = \frac{400 \times 625}{81} = \frac{250000}{81} \approx 3086.4.$$

精确到 $1\ \mathrm{cm^3/s}$：

$$v \approx 3086\ \mathrm{cm^3/s}.$$

自检：$v = kr^4$ 就是幂函数（$k$ 为常数倍）——“四次方成正比”直接翻译成解析式，是本节建模的标准动作。$5^4 = 625$ 别算错（$625 = 5^3 \times 5$）；$\frac{250000}{81} \approx 3086.4$ 四舍五入到 3086。

习题 3.3 第 3 题

3. 试用描点法画出函数 $f(x) = x^{-2}$ 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.

定义域：$f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$，分母不能为 0：

$$\{x \mid x \neq 0\}.$$

值域：$x \neq 0$ 时 $\frac{1}{x^2} > 0$，且任意正数 $y$ 都能写成 $\frac{1}{x^2}$（取 $x = \frac{1}{\sqrt{y}}$），所以值域是

$$(0, +\infty).$$

奇偶性：对任意 $x \neq 0$，

$$f(-x) = (-x)^{-2} = x^{-2} = f(x),$$

所以 $f(x) = x^{-2}$ 是偶函数。

单调性：任取 $0 < x_1 < x_2$：

$$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2 x_2^2}.$$

分子两个因式都为正（$x_2 - x_1 > 0$，$x_2 + x_1 > 0$），分母为正，所以 $f(x_1) - f(x_2) > 0$，即 $f(x_1) > f(x_2)$——在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

再任取 $x_1 < x_2 < 0$：

$$f(x_1) - f(x_2) = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2 x_2^2}.$$

此时 $x_2 - x_1 > 0$ 而 $x_2 + x_1 < 0$（两个负数相加），分子为负、分母为正，所以 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$——在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增。

图象：描点可得两支在第一、二象限的曲线（偶函数关于 $y$ 轴对称），形如开口向上的”抛物线”但更贴近坐标轴：向上与 $y$ 轴无限接近（$x \to 0$ 时 $\frac{1}{x^2} \to +\infty$），向左右与 $x$ 轴无限接近（$|x| \to \infty$ 时 $\frac{1}{x^2} \to 0$）。

自检：本题是”定义证明单调性”的完整示范，两处都要小心——作差后分子因式分解（$x_2^2 - x_1^2$），判定符号时注意 $x_2 + x_1$ 的符号随区间变化：都在正半轴时为正（递减），都在负半轴时为负（递增）。这正是幂函数 $x^{-2}$ 与 $x^3$（单调性无分段）不同的地方——偶函数在对称区间上单调性相反。渐近线直觉（接近 $y$ 轴、$x$ 轴但不相交）与 $y = x^{-1}$ 一脉相承。