3.1 函数的概念及其表示

3.1 函数的概念及其表示

在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长 $l$ 与边长 $x$ 的对应关系是 $l = 4x$ ，而且对于每一个确定的 $x$ 都有唯一的 $l$ 与之对应，所以 $l$ 是 $x$ 的函数。这个函数与正比例函数 $y = 4x$ 相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断 $y = x$ 与 $y = \frac{x^2}{x}$ 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念。

3.1.1 函数的概念

先分析以下问题.

问题 1 某 “复兴号” 高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时. 这段时间内, 列车行进的路程 S (单位: km) 与运行时间 t (单位: h) 的关系可以表示为

$S = 3 5 0 t.$

这里，$t$ 和 $S$ 是两个变量，而且对于 $t$ 的每一个确定的值，$S$ 都有唯一确定的值与之对应，所以 $S$ 是 $t$ 的函数.

思考

有人说：“根据对应关系 S=350t，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行 1 h 就前进了 350 km.” 你认为这个说法正确吗？

根据问题1的条件，我们不能判断列车以 $350\mathrm{km / h}$ 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到 $t$ 的变化范围.

下面用更精确的语言表示问题1中 $S$ 与 $t$ 的对应关系.

列车行进的路程 $S$ 与运行时间 $t$ 的对应关系是

$$S = 3 5 0 t.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

其中，t 的变化范围是数集 $A_{1}=\{t \mid 0 \leqslant t \leqslant 0.5\}$ ，S 的变化范围是数集 $B_{1}=\{S \mid 0 \leqslant S \leqslant 175\}$ 。对于数集 $A_{1}$ 中的任一时刻 t，按照对应关系①，在数集 $B_{1}$ 中都有唯一确定的路程 S 和它对应。

问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 $w$ （单位：元）是他工作天数 $d$ 的函数吗？

显然，工资 $w$ 是一周工作天数 $d$ 的函数，其对应关系是

$$w = 3 5 0 d.\tag{\text{\textcircled{2}}}$$

?

其中，$d$ 的变化范围是数集 $A_{2} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，$w$ 的变化范围是数集 $B_{2} = \{350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100\}$。对于数集 $A_{2}$ 中的任一个工作天数 $d$，按照对应关系②，在数集 $B_{2}$ 中都有唯一确定的工资 $w$ 与它对应。

问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻 $t$ h的空气质量指数（AQI）的值 $I$？你认为这里的 $I$ 是 $t$ 的函数吗？

从图3.1-1中的曲线可知，$t$ 的变化范围是数集 $A_{3} = \{t \mid 0 \leqslant t \leqslant 24\}$，AQI 的值 $I$ 都在数集 $B_{3} = \{I \mid 0 < I < 150\}$ 中。对于数集 $A_{3}$ 中的任一时刻 $t$，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集 $B_{3}$ 中都有唯一确定的AQI的值 $I$ 与之对应。因此，这里的 $I$ 是 $t$ 的函数。

你能根据图 3.1-1 找到中午 12 时的 AQI 的值吗?

问题 4 国际上常用恩格尔系数 $r\left(r=\frac{\text{食物支出金额}}{\text{总支出金额}}\times100\%\right)$ 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表 3.1-1 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。

你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 $r$ 是年份 $y$ 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

这里，y 的取值范围是数集 $A_{4}=\{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015\}$ ；根据恩格尔系数的定义可知，r 的取值范围是数集 $B_{4}=\{r\mid0<r\leqslant1\}$ 。对于数集 $A_{4}$ 中的任意一个年份 y，根据表 3.1-1 所给定的对应关系，在数集 $B_{4}$ 中都有唯一确定的恩格尔系数 r 与之对应。所以，r 是 y 的函数。

归纳

上述问题 1～问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

上述问题的共同特征有：

（1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示；

(2) 都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集 $A$ 中的任意一个数 $x$ ，按照对应关系，在数集 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应.

事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号 $f$ 统一表示对应关系。

一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 $f: A \rightarrow B$ 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function），记作

$y = f (x), x \in A.$

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 (domain)；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$ 叫做函数的值域 (range).

显然，值域是集合 $B$ 的子集. 在问题1与问题2中，值域就是 $B_{1}$ 和 $B_{2}$；在问题3中，值域是数集 $B_{3}$ 的真子集；在问题4中，值域 $C_{4} = \{0.3669, 0.3681, 0.3817, 0.3569, 0.3515, 0.3353, 0.3387, 0.2989, 0.2935, 0.2857\}$，是数集 $B_{4} = \{r \mid 0 < r \leqslant 1\}$ 的真子集.

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17 世纪后期，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19 世纪，李善兰首次将 function 翻译成“函数”.

我们所熟悉的一次函数 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的定义域是 $\mathbf{R}$，值域也是 $\mathbf{R}$。对应关系 $f$ 把 $\mathbf{R}$ 中的任意一个数 $x$，对应到 $\mathbf{R}$ 中唯一确定的数 $ax + b (a \neq 0)$。

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的定义域是 $\mathbf{R}$，值域是 $B$。当 $a > 0$ 时，$B = \left\{ y \mid y \geqslant \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right\}$；当 $a < 0$ 时，$B = \left\{ y \mid y \leqslant \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right\}$。对应关系 $f$ 把 $\mathbf{R}$ 中的任意一个数 $x$，对应到 $B$ 中唯一确定的数 $ax^{2} + bx + c (a \neq 0)$。

思考

反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数.

例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数 $y = kx$ ($k \neq 0$) 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 $y=x(10-x)$ 来描述.

解：把 $y = x(10 - x)$ 看成二次函数，那么它的定义域是 $\mathbf{R}$，值域是 $B = \{y \mid y \leqslant 25\}$ 对应关系 $f$ 把 $\mathbf{R}$ 中的任意一个数 $x$，对应到 $B$ 中唯一确定的数 $x(10 - x)$。

如果对 $x$ 的取值范围作出限制，例如 $x \in \{x \mid 0 < x < 10\}$，那么可以构建如下情境：

长方形的周长为 20，设一边长为 x，面积为 y，那么 $y = x(10 - x)$ .

其中，x 的取值范围是 $A=\{x \mid 0 < x < 10\}$ ，y 的取值范围是 $B=\{y \mid 0 < y \leqslant 25\}$ 。对应关系 f 把每一个长方形的边长 x，对应到唯一确定的面积 $x(10 - x)$ 。

探究

构建其他可用解析式 $y=x(10-x)$ 描述其中变量关系的问题情境.

练习

1. 一枚炮弹发射后，经过 26 s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为 845 m，且炮弹距地面的高度 h （单位：m）与时间 t （单位：s）的关系为

$$h = 1 3 0 t - 5 t ^ {2}.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.

2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.

(1) 求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；

(2) 根据图象，求这一天 12 时所对应的温度.

3. 集合 A, B 与对应关系 f 如下图所示:

$f: A \to B$ 是否为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 $y = \sqrt{x}$ 来描述.

研究函数时常会用到区间的概念.

设 $a, b$ 是两个实数，而且 $a < b$。我们规定：

（1）满足不等式 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数 $x$ 的集合叫做闭区间，表示为 $[a, b]$；

(2) 满足不等式 $a < x < b$ 的实数 $x$ 的集合叫做开区间, 表示为 $(a, b)$;

（3）满足不等式 $a \leqslant x < b$ 或 $a < x \leqslant b$ 的实数 $x$ 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 $[a, b)$，$(a, b]$.

这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如表 3.1-2 所示。在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

实数集 $\mathbf{R}$ 可以用区间表示为 $(- \infty, + \infty)$, “$\infty$”读作“无穷大”, “$- \infty$”读作“负

无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.

满足 $x \geqslant a, x > a, x \leqslant b, x < b$ 的实数 $x$ 的集合，可以用区间分别表示为 $[a, +\infty), (a, +\infty), (-\infty, b], (-\infty, b)$. 这些区间的几何表示如表3.1-3所示.

例 2 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x+2}$ ,

(1) 求函数的定义域;

(2) 求 $f(-3)$ ， $f\left(\frac{2}{3}\right)$ 的值；

…

(3) 当 a > 0 时，求 $f(a)$ ， $f(a - 1)$ 的值.

在函数定义中，我们用符号 $y=f(x)$ 表示函数，其中 $f(x)$ 表示 x 对应的函数值，而不是 f 乘 x.

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式 $y = f(x)$，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

解：（1）使根式 $\sqrt{x + 3}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \geqslant -3\}$，使分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x \mid x \neq -2\}$。所以，这个函数的定义域是

$\{x \mid x \geqslant - 3 \} \cap \{x \mid x \neq - 2 \} = \{x \mid x \geqslant - 3, \text {且} x \neq - 2 \}$

即 $[-3,-2)\cup(-2,+\infty)$ .

(2) 将 -3 与 $\frac{2}{3}$ 代入解析式，有

$f (- 3) = \sqrt {- 3 + 3} + \frac {1}{- 3 + 2} = - 1;$

$f \big (\frac {2}{3} \big) = \sqrt {\frac {2}{3} + 3} + \frac {1}{\frac {2}{3} + 2} = \sqrt {\frac {1 1}{3}} + \frac {3}{8} = \frac {3}{8} + \frac {\sqrt {3 3}}{3}.$

(3) 因为 a > 0，所以 $f(a)$ ， $f(a - 1)$ 有意义.

$f (a) = \sqrt {a + 3} + \frac {1}{a + 2};$

$f (a - 1) = \sqrt {a - 1 + 3} + \frac {1}{a - 1 + 2} = \sqrt {a + 2} + \frac {1}{a + 1}.$

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。

两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是 $y = 350x$，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集，因此它们与正比例函数 $y = 350x (x \in \mathbf{R})$ 也不是同一个函数。

此外，函数 $u = t^2$ ， $t\in (-\infty , + \infty)$ ， $x = y^{2}$ ， $y\in (-\infty , + \infty)$ 与 $y = x^{2}$ $x\in (-\infty , + \infty)$ ，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.

例3 下列函数中哪个与函数 $y = x$ 是同一个函数？(1) $y = (\sqrt{x})^2$; (2) $u = \sqrt[3]{v^3}$; (3) $y = \sqrt{x^2}$; (4) $m = \frac{n^2}{n}$.

解：(1) $y = (\sqrt{x})^2 = x (x \in \{x \mid x \geqslant 0\})$，它与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 不是同一个函数.

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也可以利用信息技术画出例 3 中四个函数的图象，根据图象进行判断.

(2) $u = \sqrt[3]{v^3} = v (v \in \mathbf{R})$, 它与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 不仅对应关系相同, 而且定义域也相同, 所以这个函数与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 是同一个函数.

(3) $y = \sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} -x, & x < 0, \\ x, & x \geqslant 0, \end{cases}$ 它与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 的定义域都是实数集 $\mathbf{R}$，但是当 $x < 0$ 时，它的对应关系与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 不相同。所以这个函数与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 不是同一个函数。

(4) $m = \frac{n^2}{n} = n (n \in \{n \mid n \neq 0\})$，它与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 的对应关系相同但定义域不相同。所以这个函数与函数 $y = x (x \in \mathbf{R})$ 不是同一个函数。

思考

至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号 $y = f(x)$，明确了函数的构成要素。比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？