1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

文字转写

例 2 判断下列存在量词命题的真假:

(1) 有一个实数 x，使 $x^{2}+2x+3=0$ ;

(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;

(3) 有些平行四边形是菱形.

分析：要判定存在量词命题“$\exists x \in M, p(x)$”是真命题，只需在集合 $M$ 中找到一个元素 $x$，使 $p(x)$ 成立即可；如果在集合 $M$ 中，使 $p(x)$ 成立的元素 $x$ 不存在，那么这个存在量词命题是假命题。

解：（1）由于 $\Delta = 2^{2} - 4 \times 3 = -8 < 0$，因此一元二次方程 $x^{2} + 2x + 3 = 0$ 无实根。所以，存在量词命题“有一个实数 $x$，使 $x^{2} + 2x + 3 = 0$”是假命题。

(2) 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以, 存在量词命题 “平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线” 是假命题.

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.

练习

1. 判断下列全称量词命题的真假：

(1) 每个四边形的内角和都是 $360^{\circ}$ ;

(2) 任何实数都有算术平方根；

(3) $\forall x \in \{y \mid y \text{ 是无理数}\}, x^{3}$ 是无理数.

2. 判断下列存在量词命题的真假：

(1) 存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

(2) 至少有一个整数 n，使得 $n^{2} + n$ 为奇数；

(3) $\exists x \in \{y \mid y \text{ 是无理数}\}$ ， $x^{2}$ 是无理数.

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 的真子集”的否定为“空集不是集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 的真子集”。下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定。

● ●

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

探究

写出下列命题的否定：

(1) 所有的矩形都是平行四边形；

(2) 每一个素数都是奇数；

(3) $\forall x \in R, x + |x| \geqslant 0.$

它们与原命题在形式上有什么变化？

上面三个命题都是全称量词命题，即具有“$\forall x \in M, p(x)$”的形式。其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，

存在一个矩形不是平行四边形；

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，

存在一个素数不是奇数；

命题（3）的否定是“并非所有的 $x \in \mathbb{R}$，$x + |x| \geqslant 0$”，也就是说，

$\exists x \in \mathbf {R}, x + | x | < 0.$

从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可。也就是说，假定全称量词命题为“$\forall x \in M, p(x)$”，则它的否定为“并非 $\forall x \in M, p(x)$”，也就是“$\exists x \in M, p(x)$ 不成立”。通常，用符号“$\neg p(x)$”表示“$p(x)$ 不成立”。

对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题：

$\forall x \in M, p (x),$

它的否定：

$\exists x \in M, \neg p (x).$

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.

例 3 写出下列全称量词命题的否定：

(1) 所有能被 3 整除的整数都是奇数；

(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）对任意 $x\in \mathbf{Z}$ ， $x^{2}$ 的个位数字不等于3.

解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

(2) 该命题的否定: 存在一个四边形, 它的四个顶点不在同一个圆上.

(3) 该命题的否定: $\exists x \in \mathbf{Z}, x^{2}$ 的个位数字等于 3.

探究

写出下列命题的否定：

(1) 存在一个实数的绝对值是正数；

(2) 有些平行四边形是菱形；

(3) $\exists x \in R, x^{2} - 2x + 3 = 0.$

它们与原命题在形式上有什么变化？

这三个命题都是存在量词命题，即具有“$\exists x \in M, p(x)$”的形式。其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

所有实数的绝对值都不是正数；

命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，

每一个平行四边形都不是菱形；

命题（3）的否定是“不存在 $x \in \mathbb{R}$，$x^2 - 2x + 3 = 0$”，也就是说，

$\forall x \in \mathbf {R}, x ^ {2} - 2 x + 3 \neq 0.$

从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可。也就是说，假定存在量词命题为“$\exists x \in M, p(x)$”，则它的否定为“不存在 $x \in M$，使 $p(x)$ 成立”，也就是“$\forall x \in M, p(x)$ 不成立”。

对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：

存在量词命题：

$\exists x \in M, p (x),$

它的否定：

$\forall x \in M, \neg p (x).$

也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.

例 4 写出下列存在量词命题的否定：

(1) $\exists x \in R, x + 2 \leqslant 0;$

(2) 有的三角形是等边三角形；

(3) 有一个偶数是素数.

解：（1）该命题的否定： $\forall x\in R,\ x+2>0.$

(2) 该命题的否定: 所有的三角形都不是等边三角形.

(3) 该命题的否定: 任意一个偶数都不是素数.

例 5 写出下列命题的否定，并判断真假：

(1) 任意两个等边三角形都相似;

(2) $\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - x + 1 = 0.$

解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。

(2) 该命题的否定: $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \neq 0.$ 因为对任意 $x \in R$ ,

$x ^ {2} - x + 1 = \left(x - \frac {1}{2}\right) ^ {2} + \frac {3}{4} > 0,$

所以这是一个真命题.

练习

1. 写出下列命题的否定：

(1) $\forall n \in Z, n \in Q;$

(2) 任意奇数的平方还是奇数；

(3) 每个平行四边形都是中心对称图形.

2. 写出下列命题的否定：

(1) 有些三角形是直角三角形；

(2) 有些梯形是等腰梯形；

（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.

习题1.5

复习巩固

1. 判断下列全称量词命题的真假：

（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数；

(2) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

（3）对任意负数 $x$ ， $x$ 的平方是正数；

(4) 梯形的对角线相等.

2. 判断下列存在量词命题的真假：

(1) 有些实数是无限不循环小数；

(2) 存在一个三角形不是等腰三角形；

(3) 有些菱形是正方形；

(4) 至少有一个整数 n， $n^{2}+1$ 是 4 的倍数.

3. 写出下列命题的否定：

(1) $\forall x \in \mathbf{Z}, |x| \in \mathbf{N}$;

(2) 所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0；

(3) $\exists x \in \mathbf{R}, x + 1 \geqslant 0$;

(4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直.

综合运用

4. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1) 平面直角坐标系下每条直线都与 x 轴相交；

(2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形；

（3）存在一个三角形，它的内角和小于 $180^{\circ}$

(4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.

5. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定：

(1) 平行四边形的对角线互相平分；

(2) 三个连续整数的乘积是 6 的倍数；

(3) 三角形不都是中心对称图形；

(4) 一元二次方程不总有实数根.

拓广探索

6. 在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假.

在数学中，有很多“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：

① 若 $x > 1$ ，则 $2x + 1 > 5$ ；（假命题）

② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等。（真命题）

这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题.

（1）有人认为，①的否定是“若 $x > 1$ ，则 $2x + 1 \leqslant 5$ ，②的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”。你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定。

(2) 请你列举几个 “若 $p$，则 $q$” 形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，并判断真假.

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定。这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。

为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述方式。为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，这对提升我们的数学运算素养是很有意义的。在学习中，要注意“集合的含义与表示—集合的关系—集合的运算”这个研究路径。

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具。结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养。

本章的学习不仅要为后续学习做好知识技能的准备，更重要的是要为整个高中数学学习做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的方式方法，使我们

能更好地适应高中数学学习.

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！

1. 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，你能结合例子说明这些特性吗？

2. 你能用集合表示平面内线段 $AB$ 的垂直平分线吗？结合集合的描述法谈谈你的体会.

3. 用联系的观点看问题, 可以使我们更深刻地理解数学知识. 本章中, 我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算. 你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义? 你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗?

4. 对给定的 $p$ 和 $q$，如何判定 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？

5. 如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？

复习参考题 1

复习巩固

1. 用列举法表示下列集合：

(1) $A = \{x|x^2 = 9\}$; (2) $B = \{x\in \mathbf{N}|1\leqslant x\leqslant 2\}$;

(3) $C=\{x\mid x^{2}-3x+2=0\}$ .

2. 设 $P$ 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

(1) $\{P \mid PA = PB\}$ ($A, B$ 是两个不同定点);

(2) $\{P \mid PO = 3 \, cm\}$ (O 是定点).

3. 设平面内有 $\triangle ABC$，且 $P$ 表示这个平面内的动点，指出属于集合 $\{P \mid PA = PB\} \cap \{P \mid PA = PC\}$ 的点是什么.

4. 请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空：

(1) 三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ____；

(2) $x \in A$ 是 $x \in A \cup B$ 的 ____；

(3) $x \in A$ 是 $x \in A \cap B$ 的 ____；

(4) x, y 为无理数是 $x + y$ 为无理数的 ____.

5. 已知 $a, b, c$ 是实数，判断下列命题的真假：

(1) “a > b” 是 “ $a^{2} > b^{2}$ ” 的充分条件； （）

(2) “a > b” 是 “ $a^{2} > b^{2}$ ” 的必要条件； （）

(3) “a > b” 是 “ $ac^{2} > bc^{2}$ ” 的充分条件；

( )

(4) “a > b” 是 “ $ac^{2} > bc^{2}$ ” 的必要条件.

( )

6. 用符号 “∀” 与 “∃” 表示下列含有量词的命题，并判断真假：

(1) 任意实数的平方大于或等于 0;

(2) 对任意实数 a，二次函数 $y = x^{2} + a$ 的图象关于 y 轴对称；

(3) 存在整数 x, y, 使得 $2x + 4y = 3$ ;

(4) 存在一个无理数，它的立方是有理数.

7. 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

(1) $\forall a \in R$ ，一元二次方程 $x^{2} - ax - 1 = 0$ 有实根；

(2) 每个正方形都是平行四边形；

(3) $\exists m \in N, \sqrt{m^{2} + 1} \in N;$

(4) 存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 $360^{\circ}$ .

综合运用

8. 已知集合 $A = \{(x, y) | 2x - y = 0\}$, $B = \{(x, y) | 3x + y = 0\}$, $C = \{(x, y) | 2x - y = 3\}$，求 $A \cap B$, $A \cap C$，并解释它们的几何意义.

9. 已知集合 $A = \{1, 3, a^2\}$，$B = \{1, a + 2\}$，是否存在实数 $a$，使得 $A \cup B = A$？若存在，试求出实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

10. 把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：

(1) 勾股定理；

(2) 三角形内角和定理.

拓广探索

11. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

12. 根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：

(1) 1 = 1^{2}$$1 + 3 = 2^{2}$$1 + 3 + 5 = 3^{2}$$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}

(2) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AD$, $BE$ 与 $CF$ 分别为 $BC$, $AC$ 与 $AB$ 边上的高, 则 $AD$, $BE$ 与 $CF$ 所在的直线交于一点 $O$.

一元二次函数、方程和不等式

相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系。我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题。在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程（组）、不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现。

本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.