1.5 全称量词与存在量词

这一节（§1.5.1 全称量词与存在量词）解决两件事：怎么把一个”不是命题”的句子变成命题（加量词），以及怎么判断带量词的命题的真假（证明与反例）。前半件事一学就会，后半件事是本节唯一的难点——而难点不在”想”，在”别偷懒”。

命题是可以判断真假的陈述句。"$x > 3$" 不是命题——$x$ 没定，这句话没法判断真假。量词就是用来给这样的句子”圈定范围”的短语：把”随便哪个数”变成”范围内的所有数”或”范围内的某个数”，句子就从”无法判断”变成”可判断”。

一、全称量词与全称量词命题

短语 “所有的” “任意一个” 在逻辑中叫做全称量词（universal quantifier），用符号 $\forall$ 表示。课本例子里，“对所有的 $x \in \mathbf{R}, x > 3$”、“对任意一个 $x \in \mathbf{Z}$，$2x+1$ 是整数”都是加了全称量词之后才成为命题的。常见的全称量词还有”一切""每一个""任给”。

含有全称量词的命题叫全称量词命题。标准的写法是把”变量 $x$ 的取值范围”用 $M$ 表示，命题写成

读作”对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”。

二、存在量词与存在量词命题

短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中叫做存在量词（existential quantifier），用符号 $\exists$ 表示。“存在一个 $x \in \mathbf{R}$，使 $2x+1 = 3$”、“至少有一个 $x \in \mathbf{Z}$，$x$ 能被 2 和 3 整除”都是加了存在量词才成为命题的例子。常见的存在量词还有”有些""有一个""对某些""有的”。

含有存在量词的命题叫存在量词命题，标准形式

读作”存在 $M$ 中的元素 $x$，$p(x)$ 成立”。

两个量词的关系就一句话：全称说”每个都行”，存在说”至少有一个行”——一个是最强承诺，一个是最弱要求。后面判断真假、写否定时，强度不同，用的手段就完全不同。

三、判定真假：四种情况，两种手段

判断带量词命题的真假，手段取决于量词和要判的方向：

最常犯的错就是把两列用混：证全称不能举例子（举三个例子也证明不了”每个”），证存在不能只举反例（一个数不行不代表”所有数都不行”）。

课本例 1 的三个全称量词命题把”真”和”假”的两种手段都示范了：

• (1) “所有的素数都是奇数”是假命题——反例：$2$ 是素数，但 $2$ 不是奇数；
• (2) $\forall x \in \mathbf{R}, |x| + 1 \geqslant 1$ 是真命题——一般性证明：任意实数 $x$ 都有 $|x| \geqslant 0$，两边加 $1$ 得 $|x| + 1 \geqslant 1$；
• (3) “对任意一个无理数 $x$，$x^2$ 也是无理数”是假命题——反例：$\sqrt{2}$ 是无理数，但 $(\sqrt{2})^2 = 2$ 是有理数。

例 2 的三个存在量词命题则是反过来的：

• (1) “有一个实数 $x$，使 $x^2 + 2x + 3 = 0$“是假命题——证明一个都没有：判别式 $\Delta = 2^2 - 4 \times 3 = -8 < 0$，方程无实根；
• (2) “平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题——证明一个都没有：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不可能相交；
• (3) “有些平行四边形是菱形”是真命题——举一个例子：正方形既是平行四边形又是菱形。

注意例 2 (1)(2) 都是”判假”，但它们用的是一般性否定（证明对每个 $x$ 都不行），而不是找反例——存在命题判假，唯一合法的途径就是”全都不是”。

四、易错清单（按失分频率排）

1. 证全称量词命题为真时举例。 举三个例子也证明不了”每个 $x$ 都成立”，必须任取 $x \in M$ 做一般性证明。
2. 证存在量词命题为假时找反例。 一个数不行不代表所有数都不行；判假必须证明 $M$ 中一个符合的都没有。
3. 把”带变量的句子”当命题。 "$x > 3$""$2x+1$ 是整数”不是命题——必须加量词圈定范围后才可判断真假。
4. 把量词的范围 $M$ 看漏。 全称/存在命题的真假与范围息息相关：$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 \geqslant 0$ 是真命题，把范围换成 $\mathbf{C}$ 就不是了。写解答时先把 $M$ 圈出来。
5. 判全称真假时”代几个数就下结论”。 代入只能用来证假（反例法），不能用来证真。

五、本节的练习在哪

课本给 §1.5.1 配的两组「练习」（一组判断全称量词命题的真假、一组判断存在量词命题的真假）印在第 35 页上，而第 35 页在版式上已经排进了下一小节 §1.5.2 的开头（课本的小节划分与页面边界并不对齐，这在全书是常态）。所以这两组题的详解写在 §1.5.2 那一份「习题详解」里——它与题面所在的那一页同住一处，读者点进 §1.5.2 就能看到。本节页面上因此没有「习题详解」这一块。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节（量词命题的真假判断）在高考里几乎不单独设题——它总是以两种形态出现：

• 借壳出现：含参的”恒成立问题”（对任意 $x$，$f(x) > a$ 恒成立）本质上就是全称量词命题，求参数范围要靠”一般性证明”或”分离参数找最值”；“存在 $x$ 使 $f(x) = a$“本质是存在量词命题，等价于 $a$ 落在 $f$ 的值域里。见到”恒成立”读作 $\forall$，见到”存在…使得”读作 $\exists$，把题目翻译成量词语言，方向感就有了；
• 与下一节合考：高考里直接考量词的选择题，几乎都是 §1.5.2 的”命题的否定形式”（换量词 + 否结论），两道最标准的真题（2015 年浙江第 4 题、2016 年浙江第 4 题）列在 §1.5.2 的真题清单里。

所以本节值得练的不是”背真题”，而是把全称/存在的判断动作练熟——§1.5.2 的否定、以及后面各章大量”恒成立与存在性问题”，全部建立在这一节的两种手段上。