1.4.2 充要条件

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文字转写

③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.

这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.

我们知道，例2中命题(1)及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理。所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件。类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”。

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

练习

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件？

（1）若平面内点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，则 $PA = PB$

(2) 若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等, 则这两个三角形全等;

(3) 若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.

下列 “若 p，则 q” 形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？

（1）若直线 $l$ 与 $\odot O$ 有且仅有一个交点，则 $l$ 为 $\odot O$ 的一条切线；

(2) 若 x 是无理数，则 $x^{2}$ 也是无理数.

如图，直线 $a$ 与 $b$ 被直线 $l$ 所截，分别得到了 $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ 和 $\angle 4$ . 请根据这些信息，写出几个“ $a \parallel b$ ”的充分条件和必要条件.

(第3题)

1.4.2 充要条件

思考

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

(3) 若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根，则 ac<0;

(4) 若 $A \cup B$ 是空集，则 A 与 B 均是空集.

不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.

如果 “若 p，则 q” 和它的逆命题 “若 q，则 p” 均是真命题，即既有 $p \Rightarrow q$ ，又有 $q \Rightarrow p$ ，就记作

● ●

将命题“若 $p$ ，则 $q$ ”中的条件 $p$ 和结论 $q$ 互换，就得到一个新的命题“若 $q$ ，则 $p$ ”，称这个命题为原命题的逆命题.

$p \Leftrightarrow q.$

此时， $p$ 既是 $q$ 的充分条件，也是 $q$ 的必要条件，我们说 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称为充要条件（necessary and sufficient condition）。显然，如果 $p$ 是 $q$ 的充要条件，那么 $q$ 也是 $p$ 的充要条件。

概括地说，如果 $p \Leftrightarrow q$ ，那么 $p$ 与 $q$ 互为充要条件。上述命题（1）（4）中的 $p$ 与 $q$ 互为充要条件。

例3 下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件？

(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

(3) p: xy > 0, q: x > 0, y > 0;

(4) p: x=1 是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的一个根， $q: a+b+c=0 (a\neq0)$ .

解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以 $q \neq p$ ，所以 $p$ 不是 $q$ 的充要条件.

（2）因为“若 $p$ ，则 $q$ ”是相似三角形的性质定理，“若 $q$ ，则 $p$ ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 $p \Leftrightarrow q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件.

（3）因为 $xy > 0$ 时， $x > 0$ ， $y > 0$ 不一定成立（为什么），所以 $p \neq q$ ，所以 $p$ 不是 $q$ 的充要条件.

（4）因为“若 $p$ ，则 $q$ ”与“若 $q$ ，则 $p$ ”均为真命题，即 $p \Leftrightarrow q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件.

探究

通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件。

另外，我们再看平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，

它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.

上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式。例如：

两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；

对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.

类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等.

例4已知： $\odot O$ 的半径为 $r$ ，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ .求证： $d = r$ 是直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切的充要条件.

分析：设 $p: d = r, q$ ：直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切。要证 $p$ 是 $q$ 的充要条件，只需分别证明充分性 $(p \Rightarrow q)$ 和必要性 $(q \Rightarrow p)$ 即可。

证明：设 p: d = r, q: 直线 l 与 $\odot O$ 相切.

（1）充分性 $(p\Rightarrow q)$ ：如图1.4-2，作 $OP\perp l$ 于点P，则OP=d。若d=r，则点P在 $\odot O$ 上。在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ。在 $Rt\triangle OPQ$ 中， $OQ>OP=r$ 。所以，除点P外直线l上的点都在 $\odot O$ 的外部，即直线l与 $\odot O$ 仅有一个公共点P。所以直线l与 $\odot O$ 相切。

图1.4-2

（2）必要性 $(q\Rightarrow p)$ ：若直线l与 $\odot O$ 相切，不妨设切点为P，则 $OP\perp l$ 。因此，d=OP=r。

由（1）（2）可得，d=r 是直线 l 与 $\odot O$ 相切的充要条件.

练习

下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件？

(1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；

(2) p: $\odot O$ 内两条弦相等, q: $\odot O$ 内两条弦所对的圆周角相等;

(3) $p: A \cap B$ 为空集, $q: A$ 与 $B$ 之一为空集.

分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
证明：如图，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件为 AC = BD.

(第3题)

习题1.4

复习巩固

举例说明：

(1) p 是 q 的充分不必要条件；

(2) p 是 q 的必要不充分条件；

(3) p 是 q 的充要条件.

在下列各题中，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：

(1) p: 三角形是等腰三角形, q: 三角形是等边三角形;

(2) p: 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 有实数根， $q:b^{2}-4ac\geqslant0(a\neq0)$ ;

(3) $p: a \in P \cap Q, q: a \in P$ ;

(4) $p: a \in P \cup Q, q: a \in P$ ;

(5) p: x > y, q: $x^{2} > y^{2}$ .

判断下列命题的真假：

（1）点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离大于圆的半径是点 $P$ 在 $\odot O$ 外的充要条件；

(2) 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；

(3) $A \cup B = A$ 是 $B \subseteq A$ 的必要不充分条件；

(4) x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件.

综合运用

已知 $A = \{x \mid x$ 满足条件 $p\}$ , $B = \{x \mid x$ 满足条件 $q\}$ ,

(1) 如果 $A \subseteq B$ ，那么 p 是 q 的什么条件？

(2) 如果 $B \subseteq A$ ，那么 p 是 q 的什么条件？

(3) 如果 A = B，那么 p 是 q 的什么条件？

设 $a, b, c \in \mathbb{R}$ . 证明： $a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$ 的充要条件是 $a = b = c$ .

拓广探索

设 $a, b, c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三条边，且 $a \leqslant b \leqslant c$ 。我们知道，如果 $\triangle ABC$ 为直角三角形，那么 $a^2 + b^2 = c^2$ （勾股定理）。反过来，如果 $a^2 + b^2 = c^2$ ，那么 $\triangle ABC$ 为直角三角形（勾股定理的逆定理）。由此可知， $\triangle ABC$ 为直角三角形的充要条件是 $a^2 + b^2 = c^2$ 。

请利用边长 $a, b, c$ 分别给出 $\triangle ABC$ 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明.

? 阅读与思考

几何命题与充分条件、必要条件

通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条件给出它的性质定理。利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进我们更深入地理解几何图形及其关系。下面以相似三角形为例进行说明。

为了方便，我们记 q：两个三角形相似.

1. 相似三角形的定义

三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

记 $p$ ：三个角分别相等且三条边成比例．因为 $p\Rightarrow q$ ， $q\Rightarrow p$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件.

三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件。

2. 相似三角形的判定

相似三角形的判定指出了“满足什么条件的两个三角形相似”。初中学过如下判定定理：

(1) 三边成比例的两个三角形相似；

(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

(3) 两角分别相等的两个三角形相似.

记 $p_1$ ：三边成比例， $p_2$ ：两边成比例且夹角相等， $p_3$ ：两角分别相等，我们有 $p_1 \Rightarrow q$ ， $p_2 \Rightarrow q$ ， $p_3 \Rightarrow q$ ，即 $p_1$ ， $p_2$ ， $p_3$ 分别给出了 $q$ 的一个充分条件.

上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出了相似三角形的充分条件。事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件，例如“相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）。

利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形.

想一想：（1）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（2）利用判定定理可以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？

3. 相似三角形的性质

相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件。换言之，如果不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似。在初中，我们学过的相似三角形性质定理有：

(1) 相似三角形对应线段的比都相等 (等于相似比), 特别地, 相似三角形的对应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等 (等于相似比);

(2) 相似三角形的对应角相等;

(3) 相似三角形周长的比等于对应边之比（相似比）；

(4) 相似三角形面积的比等于对应边之比的平方（相似比的平方）.

记 $r_{1}$ ：对应线段的比等于相似比， $r_{2}$ ：对应角相等， $r_{3}$ ：周长的比等于对应边之比， $r_{4}$ ：面积的比等于对应边之比的平方，我们有 $q \Rightarrow r_{1}$ ， $q \Rightarrow r_{2}$ ， $q \Rightarrow r_{3}$ ， $q \Rightarrow r_{4}$ ，即 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， $r_{3}$ ， $r_{4}$ 分别给出了q的一个必要条件。例如，如果 $r_{1}$ 不成立，即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似。因此，利用性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形。

想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？

以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方面给出了相似三角形的必要条件。你能给出相似三角形的其他必要条件吗？

分析上述命题，可以发现，有些条件是 $q$ 的充要条件，例如 $p_1(r_1), p_2, p_3(r_2)$ ，据此可以构造出相似三角形的等价定义：

(1) 三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；

(2) 两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形；

(3) 两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形.

由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试一试吗？

请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）等图形的知识进行梳理.