1.2 集合间的基本关系

上一节确立了”什么东西算一个集合”，这一节回答下一个问题：两个集合之间有什么关系？ 实数之间有相等与大小，集合之间则有包含——而包含关系里藏着本节最需要防的两个坑： 把”元素属于集合”（$\in$）和”集合包含于集合”（$\subseteq$）混为一谈，以及在写子集时漏掉空集。

本节没有计算，全部是判断动作：看到两个集合，判断它们之间是什么关系。课本按 “子集 → 相等 → 真子集 → 空集”的顺序引出，这里按判定顺序讲——遇到两个集合， 先问哪几个问题、每个问题怎么回答，一口气把关系定下来。

一、先分清两种”关系”：$\in$ 与 $\subseteq$

元素和集合之间只有两种关系，用 $\in$ / $\notin$ 表示；集合和集合之间才有包含关系。 这两类符号连接的对象身份不同，不能对调：

最容易错的一行是 $\{a\} \subseteq A$ 与 $a \in A$ 的区别：$a$ 是元素，$\{a\}$ 是”只装着 $a$ 这一个元素的集合”，两者身份不同。$a \in A$ 说”$a$ 是 $A$ 里的一个成员”； $\{a\} \subseteq A$ 说”由 $a$ 单独组成的集合是 $A$ 的子集”——这两句话往往同时成立 （当 $a \in A$ 时），但它们说的是两件事，判断”集合是不是子集”时只能写 $\subseteq$。 课本的思考题问的就是这个区别，答案是：$a \in A$ 讨论的是单个元素，$\{a\} \subseteq A$ 讨论的是集合。

二、子集：定义只有一句话，判定只有一步

一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素， 就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 $A \subseteq B$。

判定动作是机械的：把 $A$ 的元素一个一个拿出来，检查是不是都在 $B$ 里。 全在，就是子集； 只要有一个不在，就不是。例 2 的两小问就是这道工序：

• $A = \{1,2,3\}$，$B = \{x \mid x \text{ 是 8 的约数}\}$。$B = \{1,2,4,8\}$。$3 \in A$ 但 $3 \notin B$，所以 $A \not\subseteq B$。一个反例就够，不需要检查完。
• $A = \{x \mid x \text{ 是长方形}\}$，$B = \{x \mid x \text{ 是两条对角线相等的平行四边形}\}$。 任取一个长方形，它首先是平行四边形，且对角线相等，所以 $x \in A \Rightarrow x \in B$， $A \subseteq B$。这一问用的不是穷举而是性质推导——把两个描述法集合的”入选标准”比较， 标准更严的集合是标准更宽的集合的子集。

直观上，子集关系可以用 Venn 图表示：用平面上的一个圈代表一个集合，$A \subseteq B$ 就是 $A$ 的圈整个落在 $B$ 的圈里面。画图是”想清楚关系之后的事”，不是判断的替代品。

三、集合相等：用两次包含来定义

两个集合相等，课本给了两种说法，等价：

1. 集合 $A$ 的任何一个元素都是集合 $B$ 的元素，同时集合 $B$ 的任何一个元素都是集合 $A$ 的元素；
2. 若 $A \subseteq B$，且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

第一种是”逐元素比对”，第二种是”用包含关系看”：双向都包含，说明两边谁也不多谁也不少。 第二种说法更常用，因为它把”判断相等”翻译成了”判断两次子集”，是机械可执行的。 课本把它与实数中的结论”若 $a \geqslant b$ 且 $b \geqslant a$，则 $a = b$“类比—— 结构完全一样：两个方向的不等式（包含）同时成立，就压出相等。

注意集合相等的另一面：集合的元素与写法无关（上一节的互异性、无序性），所以 $\{2,1\} = \{1,2\}$，$\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} = \{1,2\}$。判断相等时要先把两个集合 “摊平”成元素名单再比，不能拿描述法和列举法直接看长相。

四、真子集：子集之外，多一个”它没有的”

如果集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneqq B$。

与子集的差别只有一句话：$B$ 里至少有一个元素是 $A$ 没有的。 例 1 里 $\{a,b\}$ 的子集是 $\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}$，其中前三个都是真子集， $\{a,b\}$ 本身不是——因为它等于自己，“多一个”无从谈起。

符号上容易混的是”开口朝向”：$A \subsetneqq B$ 的开口朝 $B$，表示 $A$ 被 $B$ 包住、 且 $A$ 更小。判断真子集先判子集，再找”多出来的那个元素”。

五、空集：唯一的特例，规则是”规定”出来的

方程 $x^2 + 1 = 0$ 没有实数根，所以它的实数根组成的集合没有元素——这种集合叫空集， 记作 $\varnothing$。课本给出一个规定，是全节最需要死记的一句：

空集是任何集合的子集。

即对任意集合 $A$，都有 $\varnothing \subseteq A$。这不是推导出来的，是规定（数学里为了 让理论统一而做的约定）。由它还能推出一个常用结论：空集是任何非空集合的真子集 （非空集合里至少有一个元素，那个元素 $A$ 有而 $\varnothing$ 没有）。

三个长得像的东西必须分清：

$\{\varnothing\}$ 不是空集——它有一个元素，那个元素恰好是空集。判断子集时最容易漏的 就是 $\varnothing$：写”某集合的所有子集”时，第一个该写的就是空集，最后一个是它本身。

六、三个基本结论

课本归纳出三个基本结论，其中前两条证明都很短：

1. 任何一个集合是它本身的子集：$A \subseteq A$。因为”$A$ 的任意元素都是 $A$ 的元素”是一句废话式的真话。
2. 包含关系有传递性：若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq C$，则 $A \subseteq C$。任取 $x \in A$， 由第一个包含得 $x \in B$，再由第二个包含得 $x \in C$。
3. 空集是任何集合的子集（上一节的规定）。

由 1 和 2 还能得到判断相等的常用路线：要证 $A = B$，分别证 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$ 两步。真子集关系的传递性也成立（若 $A \subsetneqq B \subsetneqq C$，则 $A \subsetneqq C$），但包含关系的传递性不能反推相等——$A \subseteq B \subseteq C$ 时 $A$ 与 $C$ 之间仍是”子集”而不是”相等”，这是把传递性用错时最常见的失分点。

七、数一数：$n$ 个元素的集合有几个子集

例 1 是 $\{a,b\}$：子集为 $\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}$，共 4 个 = $2^2$。 推广：含 $n$ 个元素的集合共有 $2^n$ 个子集（每个元素有”取/不取”两种选择，互不影响）。 其中真子集 $2^n - 1$ 个（去掉它本身），非空子集也是 $2^n - 1$ 个（去掉空集）。 这个计数在后面”集合运算”和概率里都会反复出现，值得现在就背下来。

八、易错清单（按失分频率排）

1. 写子集漏掉 $\varnothing$ 和集合本身。 三步自查：先写空集，再写单元素，最后写集合本身。
2. $\in$ 与 $\subseteq$ 混用。 $\{a\} \subseteq A$ 与 $a \in A$ 是两回事；判断”集合之间的 关系”只能用 $\subseteq$ / $\subsetneqq$。
3. $\varnothing$、$\{0\}$、$\{\varnothing\}$ 三者混淆。 空集是”没有元素”，不是”装着 0”， 也不是”装着空集”。
4. 描述法集合不摊平就比。 先把 $\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$ 算成 $\{1,2\}$， 再去和别的集合比。含参数的描述法（如 $\{x \mid x = 3k, k \in \mathbf{N}\}$）要先写几个元素 看规律，再下结论。
5. 端点开闭。 判断 $B \subseteq A$ 的含参取值范围题（本节习题 1.2 第 5 题 (2) 就是）： 开区间端点在”等于”处是否成立要看端点属不属于 $B$，别一律取开或一律取闭。

九、怎么读这一节

这一节没有直接考过本节的独立真题（页面下方的真题清单为空），但它是后面所有集合内容的 底座——第 1.3 节集合的基本运算、函数定义域、不等式解集，全都在”判断集合关系”这个动作上 展开。建议按这个顺序练：

1. 先做练习第 1 题（写出 $\{a,b,c\}$ 的所有子集）：8 个，把它当成”数子集”的算例， 同时练”不漏空集”的自查动作；
2. 再做练习第 3 题（判断两个描述法集合的关系）：这是本节最接近高考的题型， 关键是先把描述法集合摊平成元素名单（第 3 题 (3) 的公倍数、习题第 5 题 (1) 的参数集合都是）；
3. 最后挑战习题 1.2 第 5 题：第 (1) 题考”集合相等”在含参集合上的应用 （互异性是最容易被忽略的条件），第 (2) 题考”子集关系”在端点上的应用， 两题都是这一节的上限——做通这两题，本节就算过关。

本节课本习题共 8 道：第 15–16 页「练习」3 道，「习题 1.2」5 道（复习巩固 2 道、综合运用 2 道、 拓广探索 1 道），全部收录、逐题全做——没有开放式不收的题（第 3 题”举出一个子集”答案不唯一， 但每一问都要求给出一个符合定义的集合，可判对错，收）。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 15 页）第 1 题

1. 写出集合 $\{a, b, c\}$ 的所有子集.

穷举按”个数”分层，一层不漏：

• 0 个元素：$\varnothing$；
• 1 个元素：$\{a\}, \{b\}, \{c\}$；
• 2 个元素：$\{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}$；
• 3 个元素：$\{a,b,c\}$。

共 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 个。自检：3 个元素的集合有 $2^3 = 8$ 个子集，与上面数出的 8 个相符； 其中真子集 $8 - 1 = 7$ 个（去掉 $\{a,b,c\}$ 本身），非空子集也是 7 个（去掉 $\varnothing$）。

这道题的关键动作：按元素个数分层穷举——先空集、再单元素、双元素、最后本身， 这样既不会漏也不会重。最容易漏的是 $\varnothing$ 和 $\{a,b,c\}$ 这两个”两端”。

练习（第 15 页）第 2 题

2. 用适当的符号填空:

(1) $a \_ \{a, b, c\}$; (2) $0 \_ \{x \mid x^2 = 0\}$;

(3) $\varnothing$ ____ $\{x\in \mathbf{R}|x^2 +1 = 0\}$ (4) $\{0,1\}$ N;

(5) $\{0\} \_\_\_\{x|x^2 = x\}$; (6) $\{2, 1\} \_\_\_\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$.

题面跨页：(1)–(4) 在第 15 页，(5)(6) 在第 16 页。

填法（答案）：(1) $\in$；(2) $\in$；(3) $=$（或 $\subseteq$）；(4) $\subseteq$； (5) $\subseteq$（或 $\subsetneqq$）；(6) $=$。逐题说明：

(1) $a$ 是集合 $\{a,b,c\}$ 里的一个元素，左边是元素、右边是集合，用属于符号：$a \in \{a,b,c\}$。 这里不能写 $\subseteq$——$\subseteq$ 连接的是两个集合。

(2) 先摊平右边：$\{x \mid x^2 = 0\} = \{0\}$（只有 $x=0$ 满足 $x^2=0$）。$0$ 是这个集合的元素， 所以 $0 \in \{x \mid x^2 = 0\}$。

(3) 先看右边：$\{x \in \mathbf{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$。对任意实数 $x$ 都有 $x^2 \geqslant 0$， 故 $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$，方程 $x^2 + 1 = 0$ 无实数根——这个集合没有元素，它就是空集。 于是左边 $\varnothing$ 与右边是同一个集合：$\varnothing = \{x\in \mathbf{R}|x^2 +1 = 0\}$。 （填 $\subseteq$ 也对——空集是任何集合的子集，包括它自己；但 $=$ 是更精确的回答。 关键一步是把右边”算出来是空集”，而不是把它当成有根的非空集合。）

(4) $\{0,1\}$ 的元素 $0$ 和 $1$ 都是自然数，都在 $\mathbf{N}$ 里，所以 $\{0,1\} \subseteq \mathbf{N}$。 注意左边是集合，不能用 $\in$。

(5) 先算右边：$\{x \mid x^2 = x\} = \{0, 1\}$（$x^2 = x \iff x(x-1) = 0$，两根为 $0$ 和 $1$）。 左边 $\{0\}$ 的元素 $0$ 在 $\{0,1\}$ 里，故 $\{0\} \subseteq \{x|x^2 = x\}$；又 $1$ 在右边而 $1 \notin \{0\}$， 所以更精确地 $\{0\} \subsetneqq \{x|x^2 = x\}$——填 $\subseteq$ 与 $\subsetneqq$ 都正确，$\subsetneqq$ 信息量更大。

(6) 先算右边：$x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x-1)(x-2) = 0$，两根为 $1$ 和 $2$，故 $\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} = \{1, 2\}$。而 $\{2,1\} = \{1,2\}$（集合无序性），两边元素完全一样， 所以 $\{2, 1\} = \{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$。

自检：(5)(6) 的共同陷阱是”不把描述法算成列举法就填空”。先写元素名单再比，下划线位置就不会错。

练习（第 16 页）第 3 题

3. 判断下列两个集合之间的关系：

(1) $A=\{x\mid x<0\}$ ， $B=\{x\mid x<1\}$ ;

(2) $A = \{x \mid x = 3k, k \in \mathbf{N}\}$, $B = \{x \mid x = 6z, z \in \mathbf{N}\}$;

(3) $A = \{x\in \mathbf{N}_{+}|x$ 是4与10的公倍数}, $B = \{x|x = 20m, m\in \mathbf{N}_{+}\}$.

(1) 任取 $x \in A$，即 $x < 0$，则更有 $x < 1$，所以 $x \in B$，$A \subseteq B$。 反过来取 $x = \tfrac{1}{2} \in B$（$\tfrac{1}{2} < 1$），但 $\tfrac{1}{2} \not< 0$，$\tfrac{1}{2} \notin A$， 存在 $B$ 的元素不在 $A$ 里。故 $A \subsetneqq B$（$A$ 是 $B$ 的真子集）。

(2) 先摊平成名单：$A = \{0, 3, 6, 9, 12, \ldots\}$（3 的倍数，$k \in \mathbf{N}$ 含 $k=0$）， $B = \{0, 6, 12, \ldots\}$（6 的倍数）。任一 6 的倍数都是 3 的倍数，所以 $B \subseteq A$； 反过来 $3 \in A$ 而 $3$ 不是 6 的倍数，$3 \notin B$，存在 $A$ 的元素不在 $B$ 里。 故 $B \subsetneqq A$（$B$ 是 $A$ 的真子集）。

注意这一步的关键前提：$\mathbf{N}$ 含 $0$，所以两个集合都有元素 $0$（公倍数列表从 0 开始）—— 如果误以为 $\mathbf{N}$ 不含 $0$，元素名单就会整体错位。不过结论（$B$ 是 $A$ 的真子集）不受影响。

(3) 先找规律：4 与 10 的最小公倍数是 20，所以”4 与 10 的公倍数”就是”20 的倍数”。 $\mathbf{N}_{+}$ 下：$A = \{20, 40, 60, \ldots\}$，$B = \{x \mid x = 20m, m \in \mathbf{N}_{+}\} = \{20, 40, 60, \ldots\}$。 两边元素名单完全一样，故 $A = B$。

自检：3 题三种结论（$\subsetneqq$、反向 $\subsetneqq$、$=$）各出现一次，判断顺序统一为—— 先证”一个包含”，再找”多出来的那个元素”定真子集，或证”两个方向都包含”定相等。 (3) 的关键动作是先算最小公倍数再比，不是硬列元素。

习题 1.2 第 1 题

1. 选用适当的符号填空：

(1) 若集合 $A = \{x \mid 2x - 3 < 3x\}$, $B = \{x \mid x \geqslant 2\}$, 则 $-4 \quad B, -3 \quad A, \{2\} \quad B, B \quad A$;

(2) 若集合 $A=\{x \mid x^{2}-1=0\}$ ，则

1____A, {−1} ____A, ∅____A, {1, −1} ____A;

(3) $\{x \mid x \text{ 是菱形}\}$ ____ $\{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}$ ; $\{x \mid x \text{ 是等腰三角形}\}$ ____ $\{x \mid x \text{ 是等边三角形}\}$ .

(1) 先化简 $A$：$2x - 3 < 3x \iff -3 < x$，即 $A = \{x \mid x > -3\}$。四个空依次填 $\notin, \notin, \subseteq, \subseteq$：

• $-4 \notin B$：$B = \{x \mid x \geqslant 2\}$，而 $-4 < 2$；
• $-3 \notin A$：$A$ 的要求是 $x > -3$（严格大于），$-3$ 不满足。这是最容易错的空—— 把 $A$ 错写成 $\{x \mid x \geqslant -3\}$ 就会填错；解不等式时 $2x-3<3x$ 移项得 $-x<3$ 即 $x>-3$， 端点 $-3$ 是开；
• $\{2\} \subseteq B$：$2 \geqslant 2$ 成立，$2 \in B$，作为集合 $\{2\}$ 是 $B$ 的子集。左边是集合，用 $\subseteq$；
• $B \subseteq A$：任取 $x \geqslant 2$，则 $x > -3$ 自然成立，$B$ 的元素全在 $A$ 里。 又 $0 \in A$ 而 $0 \notin B$（$0 < 2$），所以更精确地 $B \subsetneqq A$——但题面按从左到右的空 填 $\subseteq$ 即符合”适当的符号”。

(2) 先摊平：$A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\} = \{-1, 1\}$。四个空依次填 $\in, \subseteq, \subseteq, =$：

• $1 \in A$：$1$ 是元素且 $1^2 - 1 = 0$；
• $\{-1\} \subseteq A$：$-1 \in A$，集合 $\{-1\}$ 是 $A$ 的子集（且是真子集——$1 \in A$ 而 $1 \notin \{-1\}$）；
• $\varnothing \subseteq A$：空集是任何集合的子集，这是课本的规定，无需看 $A$ 的具体内容；
• $\{1,-1\} = A$：$\{1,-1\} = \{-1,1\}$（无序性），与 $A$ 元素名单一致。

(3) 两空分别填 $\subseteq$ 与 $\supseteq$（更精确地填 $\subsetneqq$ 与 $\supsetneqq$）：

• 菱形是”四条边都相等的平行四边形”，所以每一个菱形都是平行四边形： $\{x \mid x \text{ 是菱形}\} \subseteq \{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}$；存在非菱形的平行四边形 （如邻边不等的长方形），故 $\subsetneqq$ 更精确。
• 等边三角形是”三条边都相等的三角形”，是等腰三角形的特殊情形，所以 $\{x \mid x \text{ 是等边三角形}\} \subseteq \{x \mid x \text{ 是等腰三角形}\}$， 即 $\{x \mid x \text{ 是等腰三角形}\} \supseteq \{x \mid x \text{ 是等边三角形}\}$； 存在非等边的等腰三角形（如腰长 5、底 6 的三角形），故 $\supsetneqq$ 更精确。 这里箭头方向容易写反：等边三角形集合小，是等腰三角形集合的真子集， 题面左大右小，所以开口朝左。

这道题的关键动作：先把描述法集合算成元素名单（或”范围”），再分辨空该用 $\in$（元素对集合）还是 $\subseteq$（集合对集合）。

习题 1.2 第 2 题

2. 指出下列各集合之间的关系，并用 Venn 图表示：

$A=\{x \mid x \text{ 是四边形}\}, B=\{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}, C=\{x \mid x \text{ 是矩形}\}, D=\{x \mid x \text{ 是正方形}\}.$

关系是逐层真包含的一条链：

$$A \supsetneqq B \supsetneqq C \supsetneqq D.$$

理由：正方形是特殊的矩形（四个角都是直角且四条边相等），矩形是特殊的平行四边形 （两组对边分别平行且四个角是直角），平行四边形是特殊的四边形（两组对边分别平行）。 每一层都找得到”外面的集合有、里面的集合没有”的图形：

• 存在不是平行四边形的四边形（如一般的梯形：只有一组对边平行）；
• 存在不是矩形的平行四边形（如有一个内角为 $60^\circ$ 的平行四边形——矩形要求四个角都是直角，反例必须在”角”上做文章，邻边不等并不妨碍它是矩形）；
• 存在不是正方形的矩形（如长宽不等的矩形）。

Venn 图画法：画四个圈，$D$ 的圈完全落在 $C$ 的圈里，$C$ 的圈完全落在 $B$ 的圈里， $B$ 的圈完全落在 $A$ 的圈里——四层同心包含。每一层之间的环形区域正好装着”外面有、里面没有”的图形。

自检：用链条式写法 $A \supsetneqq B \supsetneqq C \supsetneqq D$ 一次写完四组关系， 比写四句”是…的子集”更不会漏层。前提验证：每一层”真包含”都给出一个反例图形， 这正是”真子集”定义里”存在元素 $x \in A$ 且 $x \notin B$“的几何化（对 $B \subsetneqq A$，要找的是 $A$ 里有、$B$ 里没有的元素）。

习题 1.2 第 3 题

3. 举出下列各集合的一个子集：

(1) $A = \{x \mid x \text{ 是立德中学的学生}\}$; (2) $B = \{x \mid x \text{ 是三角形}\}$;

(3) $C = \{0\}$; (4) $D = \{x \in \mathbf{Z} \mid 3 < x < 30\}$.

答案不唯一，每问给一个合理解即可：

(1) 例如 $\{x \mid x \text{ 是立德中学高一（1）班的学生}\}$——立德中学的一个班的学生， 全是立德中学的学生，构成 $A$ 的子集。

(2) 例如 $\{x \mid x \text{ 是等边三角形}\}$——所有等边三角形都是三角形，构成 $B$ 的子集。 （直角三角形集合、锐角三角形集合也可以。）

(3) $C = \{0\}$ 只有两个子集：$\varnothing$ 与 $\{0\}$ 本身。举 $\varnothing$ 即可 （空集是任何集合的子集）。举 $\{0\}$ 也对——子集定义允许”它自己”。

(4) $D = \{4, 5, 6, \ldots, 29\}$（$3 < x < 30$ 的整数）。例如 $\{4\}$（单元素集合）， 或 $\{x \in \mathbf{Z} \mid 4 \leqslant x \leqslant 10\}$（一段连续的整数），都是 $D$ 的子集。

自检：每一问都验证一下——举出的集合的元素是否全部满足原集合的入选条件 （(1) 班里每个学生都在 $A$ 的”学生”标准里；(4) $\{4\}$ 里唯一的元素 $4$ 满足 $3<4<30$）。 子集不要求相等，允许”偏小”，所以单元素、空集都是安全答案。

习题 1.2 第 4 题

4. 在平面直角坐标系中，集合 $C = \{(x, y) \mid y = x\}$ 表示直线 $y = x$，从这个角度看，集合 $D = \{(x, y) \mid \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + 4y = 5 \end{cases}\}$ 表示什么？集合 $C, D$ 之间有什么关系？

先翻译 $D$：$D$ 的元素是”同时满足 $2x - y = 1$ 和 $x + 4y = 5$ 的有序数对”，即两条直线的交点。 解方程组：由 $2x - y = 1$ 得 $y = 2x - 1$，代入 $x + 4y = 5$：

$$x + 4(2x - 1) = 5 \iff 9x - 4 = 5 \iff x = 1, \quad y = 2 \cdot 1 - 1 = 1.$$

所以 $D = \{(1, 1)\}$——$D$ 表示一个点集，里面只有点 $(1,1)$。

再看关系：点 $(1,1)$ 满足 $y = x$（$1 = 1$），所以 $(1,1) \in C$，$D \subseteq C$； 而直线 $y = x$ 上有无穷多个点（$(0,0), (2,2), (3,3), \ldots$ 都在 $C$ 里且都不是 $(1,1)$）， 存在 $C$ 的元素不在 $D$ 里。故 $D \subsetneqq C$（$D$ 是 $C$ 的真子集）。

自检：把 $(1,1)$ 代回原方程组验证：$2 \cdot 1 - 1 = 1$ ✓，$1 + 4 \cdot 1 = 5$ ✓。 这道题的关键动作：把”集合”翻译回”图形”再判断——$C$ 是整条直线（无穷点）， $D$ 是两条直线的交点（一个点），一个点集是整条直线的真子集，几何直觉与集合语言在这里对上了。

习题 1.2 第 5 题

5.（1）设 $a, b \in \mathbf{R}, P = \{1, a\}, Q = \{-1, -b\}$，若 $P = Q$，求 $a - b$ 的值；

(2) 已知集合 $A = \{x \mid 0 < x < a\}$, $B = \{x \mid 1 < x < 2\}$, 若 $B \subseteq A$, 求实数 $a$ 的取值范围.

(1) 集合相等意味着两边元素名单完全一致。$1 \in P = Q$，而 $Q = \{-1, -b\}$， $1 \neq -1$，所以只能 $1 = -b$，即 $b = -1$。于是 $Q = \{-1, 1\}$。 另一边，$P = \{1, a\}$ 与 $Q$ 相同，$P$ 里除 $1$ 外的元素 $a$ 只能是 $Q$ 里除 $1$ 外的元素： $a = -1$。故

$$a - b = (-1) - (-1) = 0.$$

前提验证：集合 $\{1, a\}$ 有”两个元素”的写法本身要求 $a \neq 1$（互异性）；算出 $a = -1$ 满足这个前提。代入回检：$P = \{1, -1\}$，$Q = \{-1, -(-1)\} = \{-1, 1\}$， $P = Q$ ✓。注意不能只从”元素个数相同”推 $a = -1$——个数相同不足以定出元素是谁， 必须先让 $1$ 在 $Q$ 里对上号，再让 $a$ 对剩下那个。

(2) $A = (0, a)$，$B = (1, 2)$。$B \subseteq A$ 要求：$B$ 的每一个元素都在 $A$ 里， 即对任意 $1 < x < 2$ 都要有 $0 < x < a$。

• 左端：$x > 1 > 0$ 自动成立，不需要条件；
• 右端：要让所有 $x < 2$ 的数都小于 $a$，必须 $a \geqslant 2$。 这里端点取值要按 $B$ 的端点是否属于 $B$ 来定：$B$ 是开区间，$2 \notin B$， 所以 $a = 2$ 时 $B = (1,2) \subseteq (0,2) = A$ 依然成立（$B$ 里没有 $x$ 会撞到 $a$）—— 因此 $a \geqslant 2$，不是 $a > 2$。反过来验边界：若 $a < 2$，取 $x = \frac{a+2}{2}$ （介于 $a$ 与 $2$ 之间，且因为 $a \geqslant 1$ 时它在 $(1,2)$ 内）则 $x \in B$ 但 $x \notin A$， 子集关系被破坏。

答案：$a \geqslant 2$。

这道题的关键动作：子集包含的端点，取等与否看被包含集合的端点开闭——$B$ 的开端点 可以”卡”在 $A$ 的边界上（$a = 2$ 合法），这是含参集合题里最常见的失分点； 先画数轴把 $(1,2)$ 往 $(0,a)$ 里推一遍，端点结论就不容易错。