浙江 2020 · 数学 q18

题面

18．在锐角$\triangle A B C$中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且$2 b \mathrm{s i n} A = \sqrt{3} a$

（Ⅰ）求角 B；

（Ⅱ）求$\cos A + \cos B + \cos C$的取值范围

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围

解析

分析

（Ⅰ）根据正弦定理可得$\mathrm{s i n} B {=} \frac{\sqrt{3}}{2}$，结合角的范围，即可求出，

（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出

解：（Ⅰ）$\because 2 b \sin A = \sqrt{3} a$，\therefore 2 \sin B \sin A = {\sqrt{3}} \sin A ,$$\because \sin A \neq 0 ,$$\therefore \mathrm{s i n} B {=}{\frac{\sqrt{3}}{2}} ,$$\because \frac{\pi}{6} < B < \frac{\pi}{2} ,$$\therefore B = {\frac{\pi}{3}} ,（Ⅱ）$\because \triangle A B C$为锐角三角形，B {=} \frac{\pi}{3}$$\therefore C = {\frac{2 \pi}{3}} - A ,$$: \cos d + \cos B + \cos C = \cos A + \cos ( {\frac{2 \pi}{3}} - A ) + \cos{\frac{\pi}{3}} = \cos A - {\frac{1}{2}} \cos A + {\frac{\sqrt{3}}{2}} \sin A + {\frac{1}{2}} = 0 \cos A + {\frac{\sqrt{3}}{2}} \cos \sin B .$$\frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A + \frac{1}{2} = \sin ( A + \frac{\pi}{6} ) + \frac{1}{2} ,$$\triangle A B C为锐角三角形，$0 < {\mathcal{A}} < {\frac{\pi}{2}} , \ 0 < C < {\frac{\pi}{2}}$解得\frac{\pi}{6} <_{\cal A} < \frac{\pi}{2}$$\therefore \frac{\pi}{3} < x + \frac{\pi}{6} < \frac{2 \pi}{3} ,

$\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin ( A + \frac{\pi}{6} ) \leq$1，

$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} < \sin \left(A + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \leqslant \frac{3}{2},$

$\therefore \cos A + \cos B + \cos C$的取值范围为$( {\frac{{\sqrt{3}} + 1}{2}} , {\frac{3}{2}}]$