浙江 2020 · 数学 q17

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2020 · 数学 q17 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

17．设e1→,e2→\overrightarrow{e_{1}} , \overrightarrow{e_{2}}为单位向量，满足∣∣e1‾−e2‾∣∣⩽2, Πa⃗∙=e1‾+e2→, b⃗=3e1→+e2→,| | \overline{{e_{1}}} - \overline{{e_{2}}} | | \leqslant \sqrt{2} , \ \Pi_{\vec{a}}^{\bullet} = \overline{{e_{1}}}^{+} \overrightarrow{e_{2}} , \ \vec{b} = 3 \overrightarrow{e_{1}}^{+} \overrightarrow{e_{2}} ,，设 ， 的夹角为 θ，则cos⁡2θ\cos^{2} \theta的最小值为

17．设e1→,e2→\overrightarrow{e_{1}} , \overrightarrow{e_{2}}为单位向量，满足∣∣e1‾−e2‾∣⩽2, a=e1‾+e2‾, b⃗=3e1‾+e2‾,\begin{array}{r}{| | \overline{{e_{1}}} - \overline{{e_{2}}} | \leqslant \sqrt{2} , \ \stackrel{}{a} = \overline{{e_{1}}}^{+} \overline{{e_{2}}} , \ \vec{b} = 3 \overline{{e_{1}}}^{+} \overline{{e_{2}}} ,} \end{array}，设 ， 的夹角为θ，则cos⁡2θ\cos^{2} \theta的最小值为−2829−{-}^{\frac{2 8}{2 9} -}

答案

2829.{\frac{2 8}{2 9}} .

解析

分析

设e1→⋅e2→\overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}}的夹角为α，由题意求出cos⁡α≥34\cos \alpha \geq \frac{3}{4}再求a⃗,b⃗\vec{a} , \vec{b} \qquad的夹角θ 的余弦值cos⁡2θ\cos^{2} \theta的最小值即可

解：设e1→⋅e2→t\overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}}^{\mathrm{t}}的夹角为α，由e1→,e2→\overrightarrow{e_{1}} , \overrightarrow{e_{2}}为单位向量，满足|2e1⟶−e2⟶⩽2\stackrel{\longrightarrow}{e_{1}} - \stackrel{\longrightarrow}{e_{2}} \leqslant \sqrt{2}

所以4e→1−2−4e→1⋅e→2+e→22=4−4cos⁡α+1⩽2,4 \overrightarrow{e}_{1}^{- 2} - 4 \overrightarrow{e}_{1} \cdot \overrightarrow{e}_{2} + \overrightarrow{e}_{2}^{2} = 4 - 4 \cos \alpha + 1 \leqslant 2 ,

解得cos⁡α≥34\cos \alpha \geq \frac{3}{4}；

又a=e→1+e→2,b→=3e→1+e→2,\stackrel{}{a} = \overrightarrow{e}_{1} + \overrightarrow{e}_{2} , \enspace \overrightarrow{b} = 3 \overrightarrow{e}_{1} + \overrightarrow{e}_{2} ,且 ， 的夹角为 θ，

所以a∙b=3e⟶12+4e⟶1∙e⟶2+e⟶22=4+4cosα,\stackrel{}{a} \bullet \stackrel{}{b} = 3 \stackrel{\longrightarrow}{e}_{1}^{2} + 4 \stackrel{\longrightarrow}{e}_{1} \bullet \stackrel{\longrightarrow}{e}_{2} + \stackrel{\longrightarrow}{e}_{2}^{2} = 4 + 4 \mathrm{c o s} \alpha ,

a→2=e1→2+2e1→⋅e2→+e2→2=2+2cos⁡α,\overrightarrow{\mathrm{a}}^{2} = \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}^{2} + 2 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}} + \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}^{2} = 2 + 2 \cos \alpha ,

b→2=9e1→2+6e1→⋅e2→+e2→2=10+6cos⁡α\overrightarrow{b}^{2} = 9 \overrightarrow{e_{1}}^{2} + 6 \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} + \overrightarrow{e_{2}}^{2} = 1 0 + 6 \cos \alpha

cos⁡2θ=(a⃗⋅b⃗)2a⃗2×b⃗2=(4+4cos⁡α)2(2+2cos⁡α)(10+6cos⁡α)=4+4cos⁡α5+3cos⁡α=43−835+3cos⁡α,\cos^{2} \theta = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}}{\vec{a}^{2} \times \vec{b}^{2}} = \frac{(4 + 4 \cos \alpha)^{2}}{(2 + 2 \cos \alpha) (1 0 + 6 \cos \alpha)} = \frac{4 + 4 \cos \alpha}{5 + 3 \cos \alpha} = \frac{4}{3} - \frac{\frac{8}{3}}{5 + 3 \cos \alpha},

所以cosα=34\mathrm{c o s} \alpha{=} \frac{3}{4}时，cos⁡2θ\cos^{2} \theta取得最小值为43−835+3×34=2829.\frac{4}{3} - \frac{\frac{8}{3}}{5 + 3 \times \frac{3}{4}} = \frac{2 8}{2 9} .

故答案为：2829.{\frac{2 8}{2 9}} .