浙江 2020 · 数学 q13

题面

13．已知 tanθ＝2，则 cos2θ＝$\tan \ ( \theta - {\frac{\pi}{4}} ) =$

答案

$- {\frac{3}{5}} ; {\frac{1}{3}} .$

解析

分析

利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问

解：$\tan \theta = 2$

$\cos 2 \theta = \frac{\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta} = \frac{1 - \tan^{2} \theta}{1 + \tan^{2} \theta} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = - \frac{3}{5}.$

$\tan \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \theta - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \theta \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{2 - 1}{1 + 2 \times 1} = \frac{1}{3}.$

故答案为：$- {\frac{3}{5}} ; {\frac{1}{3}} .$