浙江 2020 · 数学 q09

题面

9．已知 a，b∈R 且$a b \neq 0$，若$( x - a ) ( x - b ) ( x - 2 a - b ) \geqslant 0$在$x {\geqslant} 0$上恒成立，则（ ） A．$a {<} 0$ B$a {>} 0$ C．$b {<} 0$ D$b > 0$

答案

C

解析

分析

设$f \left( x \right) = \left( x - a \right) \left( x - b \right) \left( x - 2 a - b \right)$，求得 f（x）的零点，根据 f（0）≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论.

解：设$f \left( x \right) = \left( x - a \right) \left( x - b \right) \left( x - 2 a - b \right)$，可得f（x）的图象与x轴有三个交点，即f（x）有三个零点a，b，2a+b且$f \left( 0 \right) = - a b \ \left( 2 a + b \right)$由题意知，f（0）≥0恒成立，则$a b \ ( 2 a + b ) \ \leqslant 0 , \ a < 0 , \ b < 0$可得 2a+b＜0，ab（2a+b）≤0 恒成立，排除 B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时$a = b < 0$显然成立；若$b {=} b {+} 2 a$，则a＝0不成立；若$a = 2 a + b$，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b＜0恒成立

故选：C