浙江 2019 · 数学 q19

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2019 · 数学 q19 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

19.如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} ，平面 A1AC1C⊥A_{1}AC_{1}C \perp 平面 ABCABC ， ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}

∠BAC=30∘,A1A=A1C=AC,E,F\angle BAC = 30^{\circ}, A_{1}A = A_{1}C = AC, E, F 分别是 AC,A1B1AC, A_{1}B_{1} 的中点.

（1）证明： EF⊥BCEF \perp BC ;

(2) 求直线 EFEF 与平面 A1BCA_{1}BC 所成角的余弦值.

∠BAC=30∘,A1A=A1C=AC,E,F\angle BAC = 30^{\circ}, A_{1}A = A_{1}C = AC, E, F 分别是 AC,A1B1AC, A_{1}B_{1} 的中点.

(1) 证明: EF⊥BCEF \perp BC;

(2) 求直线 EF 与平面 A1BCA_{1}BC 所成角的余弦值.

答案

（1）证明见解析；（2）35\frac{3}{5}.

解析

分析

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.

(1)如图所示，连结 A1E,B1EA_{1}E,B_{1}E ，

等边 △AA1C\triangle AA_{1}C 中， AE=ECAE = EC ，则 ∵sin⁡B≠0,∴sin⁡A=32,\because \sin B\neq 0,\therefore \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2},

平面 ABC⊥ABC \perp 平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1}，且平面 ABC∩ABC \cap 平面 A1ACC1=ACA_{1}ACC_{1} = AC，

由面面垂直的性质定理可得： A1E⊥A_{1}E \perp 平面 ABC，故 A1E⊥BCA_{1}E \perp BC ，

由三棱柱的性质可知 A1B1//ABA_{1}B_{1} / / AB ，而 AB⊥BCAB\perp BC ，故 A1B1⊥BCA_{1}B_{1}\perp BC ，且 A1B1∩A1E=A1A_{1}B_{1}\cap A_{1}E = A_{1}

由线面垂直的判定定理可得： BC⊥BC \perp 平面 A1B1EA_{1}B_{1}E ，

结合 EF⊆EF \subseteq 平面 A1B1EA_{1}B_{1}E ，故 EF⊥BCEF \perp BC .

(2)在底面 ABCABC 内作 EH⊥ACEH \perp AC，以点 EE 为坐标原点，EH,EC,EA1EH, EC, EA_1 方向分别为 x,y,zx, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系 E−xyzE - xyz。

设 EH=1EH = 1 ，则 AE=EC=3AE = EC = \sqrt{3} ， AA1=CA1=23,BC=3,AB=3,AA_{1} = CA_{1} = 2\sqrt{3},BC = \sqrt{3},AB = 3,

据此可得： A(0,−3,0),B(32,32,0),A1(0,0,3),C(0,3,0),A(0, -\sqrt{3},0),B\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),A_{1}(0,0,3),C(0,\sqrt{3},0),

由 AB→=A1B1→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_{1}B_{1}} 可得点 B1B_{1} 的坐标为 B1(32,323,3)B_{1}\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\sqrt{3}, 3\right) ,

利用中点坐标公式可得： F(34,343,3)F\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\sqrt{3},3\right) ，由于 E(0,0,0)E(0,0,0) ，

故直线 EF 的方向向量为： EF→=(34,343,3)\overrightarrow{EF}=\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\sqrt{3},3\right)

设平面 A1BCA_{1}BC 的法向量为 m⃗=(x,y,z)\vec{m} = (x,y,z)，则：

m⃗⋅A1B→=(x,y,z)⋅(32,32,−3)=32x+32y−3z=0\vec{m} \cdot \overrightarrow{A_{1} B} = (x, y, z) \cdot \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, - 3\right) = \frac{3}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y - 3 z = 0

mˉ⋅BC→=(x,y,z)⋅(−32,32,0)=−32x+32y=0\bar{m} \cdot \overrightarrow{B C} = (x, y, z) \cdot \left(- \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = - \frac{3}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y = 0

据此可得平面 A1BCA_{1}BC 的一个法向量为 m→=(1,3,1)\overrightarrow{m}=\left(1,\sqrt{3},1\right) ， EF→=(34,343,3)\overrightarrow{EF}=\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\sqrt{3},3\right)

此时 cos⁡⟨EF→,m→⟩=EF→⋅m→∣EF→∣×∣m→∣=65×352=45\cos\left\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{m}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{m}}{\left|\overrightarrow{EF}\right|\times\left|\overrightarrow{m}\right|}=\frac{6}{\sqrt{5}\times\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{5} ,

设直线 EF 与平面 A1BCA_{1}BC 所成角为 θ\theta ，则 sin⁡θ=cos⁡⟨EF→,m→⟩=45,cos⁡θ=35\sin\theta=\cos\left\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{m}\right\rangle=\frac{4}{5},\cos\theta=\frac{3}{5} .

【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.