浙江 2019 · 数学 q14

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2019 · 数学 q14 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 在 VABC 中， ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} ，AB = 4，BC = 3，点 D 在线段 AC 上，若 ∠BDC=45∘\angle BDC = 45^{\circ} ，则 BD = ____； cos⁡∠ABD=\cos\angle ABD= ____ .

答案

(1). 1225\frac{12\sqrt{2}}{5} (2). 7210\frac{7\sqrt{2}}{10}

解析

分析

本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入 CD=xCD = x ，在 ΔBDC\Delta BDC 、 ΔABD\Delta ABD 中应用正弦定理，建立方程，进而得解.

在 ΔABD\Delta ABD 中，正弦定理有： ABsin⁡∠ADB=BDsin⁡∠BAC\frac{AB}{\sin\angle ADB} = \frac{BD}{\sin\angle BAC} ，而 AB=4,∠ADB=3π4AB = 4,\angle ADB = \frac{3\pi}{4}

AC=AB2+BC2=5\mathrm{AC} = \sqrt{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2} = 5 ， sin⁡∠BAC=BCAC=35,cos⁡∠BAC=ABAC=45\sin \angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5},\cos \angle BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} ，所以 BD=1225BD = \frac{12\sqrt{2}}{5}

cos⁡∠ABD=cos⁡(∠BDC−∠BAC)=cos⁡π4cos⁡∠BAC+sin⁡π4sin⁡∠BAC=7210\cos \angle A B D = \cos (\angle B D C - \angle B A C) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \angle B A C + \sin \frac{\pi}{4} \sin \angle B A C = \frac{7 \sqrt{2}}{1 0}

【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.