浙江 2019 · 数学 q08

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2019 · 数学 q08 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 设三棱锥 V−ABCV - ABC 的底面是正三角形, 侧棱长均相等, PP 是棱 VAVA 上的点 (不含端点), 记直线 PBPB 与直线 ACAC 所成角为 α\alpha, 直线 PBPB 与平面 ABCABC 所成角为 β\beta, 二面角 P−AC−BP - AC - B 的平面角为 γ\gamma, 则 ( )
    A. β<γ,α<γ\beta < \gamma, \alpha < \gamma
    B. β<α,β<γ\beta < \alpha, \beta < \gamma
    C. β<α,γ<α\beta < \alpha, \gamma < \alpha
    D. α<β,γ<β\alpha < \beta, \gamma < \beta

答案

B

解析

分析

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.

方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线段AO上，过D作DE垂直AE，易得PE//VG，过P作PF//AC交VG于F，过D作DH//AC，交BG于H，则 α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED\alpha=\angle BPF,\quad\beta=\angle PBD,\gamma=\angle PED ，则 cos⁡α=PFPB=EGPB=DHPB<BDPB=cos⁡β\cos\alpha=\frac{PF}{PB}=\frac{EG}{PB}=\frac{DH}{PB}<\frac{BD}{PB}=\cos\beta ，即 α>β\alpha>\beta ， tan⁡γ=PDED>PDBD=tan⁡β\tan\gamma=\frac{PD}{ED}>\frac{PD}{BD}=\tan\beta ，即 y>βy>\beta ，综上所述，答案为B.

方法 2：由最小角定理 β<α\beta < \alpha ，记 V - AB - C 的平面角为 γ′\gamma' （显然 γ′=γ\gamma' = \gamma ）

由最大角定理 β<γ′=γ\beta < \gamma' = \gamma ，故选 B.

法 2:（特殊位置）取 V-ABC 为正四面体，P 为 VA 中点，易得

cos⁡α=36⇒sin⁡α=336,sin⁡β=23,sin⁡γ=223\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{33}}{6}, \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{3}, \sin \gamma = \frac{2\sqrt{2}}{3}, 故选 B.

【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.