浙江 2019 · 数学 q06

题面

6.在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^x}, y = \log_a\left(x + \frac{1}{2}\right)(a > 0$ 且 $a \neq 0)^{\text{的}}$ 图象可能是（）

D.

答案

D

解析

分析

本题通过讨论 $a$ 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

当 $0 < a < 1$ 时，函数 $y = a^x$ 过定点(0,1)且单调递减，则函数 $y = \frac{1}{a^x}$ 过定点(0,1)且单调递增，函数 $y = \log_a\left(x + \frac{1}{2}\right)$ 过定点 $(\frac{1}{2},0)$ 且单调递减，D选项符合；当 $a > 1$ 时，函数 $y = a^x$ 过定点(0,1)且单调递增，则函数 $y = \frac{1}{a^x}$ 过定点(0,1)且单调递减，函数 $y = \log_a\left(x + \frac{1}{2}\right)$ 过定点 $(\frac{1}{2},0)$ 且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 $a$ 的不同取值范围，认识函数的单调性.