浙江 2018 · 数学 q18

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2018 · 数学 q18 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 官方解析）

题面

18.（本题满分14分）已知角 α\alpha 的顶点与原点 OO 重合，始边与 xx 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P(−35,−45)P\left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right).

（Ⅰ）求 sin⁡(α+π)\sin(\alpha+\pi) 的值；

（Ⅱ）若角 θ\theta 满足 sin⁡(α+θ)=513\sin(\alpha+\theta)=\frac{5}{13} ，求 cos⁡θ\cos\theta 的值.

（I）求 sin⁡(α+π)\sin(\alpha+\pi) 的值；

（Ⅱ）若角 β\beta 满足 sin⁡(α+β)=513\sin(\alpha+\beta)=\frac{5}{13} ，求 cos⁡β\cos\beta 的值.

解析

分析

（Ⅰ）由已知条件即可求 r，则 sin⁡(α+π)\sin(\alpha+\pi) 的值可得；

(Ⅱ) 由已知条件即可求 sin⁡α,cos⁡α,cos⁡(α+β)\sin \alpha, \cos \alpha, \cos (\alpha + \beta), 再由 cos⁡β=cos⁡[(α+β)−α]=cos⁡(α+β)cos⁡α+sin⁡(α+β)sin⁡α\cos \beta = \cos[(\alpha + \beta) - \alpha] = \cos (\alpha + \beta) \cos \alpha + \sin (\alpha + \beta) \sin \alpha 代值计算得答案.

解答

解：（Ⅰ）∵角 α\alpha 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P(−35,−45)P\left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right) .

∴x=−35,y=45,r=∣OP∣=(−35)2+(−45)2=1,\therefore x = - \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}, r = | O P | = \sqrt{\left(- \frac{3}{5}\right)^{2} + \left(- \frac{4}{5}\right)^{2}} = 1,

∴sin⁡(α+π)=−sin⁡α=yr=45;\therefore \sin (\alpha + \pi) = - \sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{4}{5};

（Ⅱ）由 x=−35x=-\frac{3}{5} ， y=−45y=-\frac{4}{5} ， r=∣OP∣=1r=|OP|=1 ，

得 sin⁡α=−45,cos⁡α=−35,\sin \alpha = -\frac{4}{5},\cos \alpha = -\frac{3}{5},

又由 sin⁡(α+β)=513\sin(\alpha+\beta)=\frac{5}{13} ,

cos⁡(α+β)=±1−sin⁡2(α+β)=±1−(513)2=±1213,\cos (\alpha + \beta) = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} (\alpha + \beta)} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{5}{1 3}\right)^{2}} = \pm \frac{1 2}{1 3},

则 cos⁡β=cos⁡[(α+β)−α]=cos⁡(α+β)cos⁡α+sin⁡(α+β)sin⁡α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665\cos\beta=\cos\left[\left(\alpha+\beta\right)-\alpha\right]=\cos\left(\alpha+\beta\right)\cos\alpha+\sin\left(\alpha+\beta\right)\sin\alpha=\frac{12}{13}\times\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{5}{13}\times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{56}{65} ,

或 \cos\beta=\cos[\quad(\quad\alpha+\beta)\quad-\quad\alpha]=\cos\quad(\quad\alpha+\beta)\quad\cos\alpha+\sin\quad(\quad\alpha+\beta)\quad\sin\alpha=$$-\frac{12}{13}\times(-\frac{3}{5})+\frac{5}{13}\times(-\frac{4}{5})=\frac{16}{65}.

∴ cos⁡β\cos\beta 的值为 5665\frac{56}{65} 或 1665\frac{16}{65} .