浙江 2018 · 数学 q13

题面

13. 在$\triangle ABC$中, 角$A, B, C$所对的边分别为$a, b, c$. 若$a=\sqrt{7}, b=2, A=60^{\circ}$, 则$\sin B=$____,

C=____.

答案

$\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，3

解析

分析

由正弦定理得 $\frac{\sqrt{7}}{\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sin B}$ ，由此能求出sinB，由余弦定理得 $\cos60^{\circ}=\frac{4+c^{2}-7}{2\times2c}$ ，由此能求出c.

解答

解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. $a=\sqrt{7}$ ，b=2， $A=60^{\circ}$ ，

∴由正弦定理得： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，即 $\frac{\sqrt{7}}{\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sin B}$

解得 $\sin B=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$

由余弦定理得:

$\cos 6 0^{\circ} = \frac{4 + c^{2} - 7}{2 \times 2 c},$

解得 c=3 或 c=-1（舍），

$\therefore \sin B = \frac{\sqrt{2 1}}{7}, \quad c = 3.$

故答案为： $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，3.