浙江 2018 · 数学 q12

题面

12. 若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l} x - y \geq 0, \\ 2x + y \leq 6, \\ x + y \geq 2, \end{array} \right.$ 则 $z = x + 3y$ 的最小值是 ____，最大值是 ____.

答案

-2；8

解析

分析

作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数 $z = x + 3y$ 对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果.

解答

解：作出 x，y 满足约束条件 $\left\{\begin{aligned}x-y\geqslant0\\ 2x+y\leqslant6\\ x+y\geqslant2\end{aligned}\right.$ 表示的平面区域，

如图:

其中 B（4，-2），A（2，2）.

设 $z=F(x, y)=x+3y,$

将直线 l: $z = x + 3y$ 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，

可得当 I 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值.

$\therefore z_{\text{最小值}} = F (4, - 2) = - 2.$

可得当 $l$ 经过点 $A$ 时，目标函数 $z$ 达到最最大值：

$z_{最大值}=F(2,2)=8.$

故答案为：-2；8.