浙江 2018 · 数学 q10

题面

10. 已知 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 成等比数列，且 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \ln(a_1 + a_2 + a_3)$. 若 $a_1 > 1$，则 A. $a_1 < a_3, a_2 < a_4$ B. $a_1 > a_3, a_2 < a_4$ C. $a_1 < a_3, a_2 > a_4$ D. $a_1 > a_3, a_2 > a_4$

非选择题部分（共 110 分）

$a_{1}>1$ ，则（）

A. $a_1 < a_3$, $a_2 < a_4$ B. $a_1 > a_3$, $a_2 < a_4$ C. $a_1 < a_3$, $a_2 > a_4$ D. $a_1 > a_3$, $a_2 > a_4$

答案

B

解析

分析

利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可.

解答

解： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，

$a_{1}>1$ ，设公比为 q，

当 $q > 0$ 时，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 > a_1 + a_2 + a_3$，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \ln (a_1 + a_2 + a_3)$，不成立，

即： $a_{1}>a_{3}$ ， $a_{2}>a_{4}$ ， $a_{1}<a_{3}$ ， $a_{2}<a_{4}$ ，不成立，排除 A、D.

当 $q = -1$ 时，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0$，$\ln (a_1 + a_2 + a_3) > 0$，等式不成立，所以 $q \neq -1$;

当 $q < -1$ 时，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 < 0$，$\ln (a_1 + a_2 + a_3) > 0$，$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \ln (a_1 + a_2 + a_3)$ 不成立，

当 $q \in (-1, 0)$ 时， $a_{1} > a_{3} > 0$ ， $a_{2} < a_{4} < 0$ ，并且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \ln(a_{1} + a_{2} + a_{3})$ ，能够成立，

故选：B.