浙江 2018 · 数学 q09

题面

9. 已知 $a, b, e$ 是平面向量, $e$ 是单位向量. 若非零向量 $a$ 与 $e$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 向量 $b$ 满足 $b^{2} - 4e \cdot b + 3 = 0$, 则 $|a - b|$ 的最小值是 A. $\sqrt{3} - 1$ B. $\sqrt{3} + 1$ C. 2 D. $2 - \sqrt{3}$

答案

A

解析

分析

把等式 $\vec{b}^2 - 4\vec{e} \cdot \vec{b} + 3 = 0$ 变形，可得得 $(\vec{b} - \vec{e}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{e}) = 0$，即 $(\vec{b} - \vec{e}) \perp (\vec{b} - 3\vec{e})$，设 $\vec{e} = (1, 0)$，则 $\vec{b}$ 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到 $\vec{a}$ 的终点在不含端点O的两条射线 $y = \pm \sqrt{3}x (x > 0)$ 上，画出图形，数形结合得答案.

解答

解：由 $\vec{b}^{2}-4\vec{e}\cdot\vec{b}+3=0$ ，得 $(\vec{b}-\vec{e})\cdot(\vec{b}-3\vec{e})=0$ ，

$\therefore (\vec{b} - \vec{e}) \perp (\vec{b} - 3 \vec{e})$

如图，不妨设 $\vec{e} = (1,0)$

则 $\vec{b}$ 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，则 $\vec{a}$ 的终点在不含端点 $O$ 的两条射线 $y = \pm \sqrt{3} x (x > 0)$ 上.

不妨以 $y = \sqrt{3} x$ 为例，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值是（2，0）到直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的距离减1. 即 $\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} - 1 = \sqrt{3} - 1$.

故选：A.