浙江 2015 · 数学 q19

题面

19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$上两个不同的点A，B关于直线$\mathrm{y} = \mathrm{m x} + \frac{1}{2}$对称

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）

解析

分析

（1）由题意，可设直线AB的方程为$\mathrm{x} = - \mathrm{m y} + \mathrm{n}$，代入椭圆方程可得$( m^{2} + 2 ) y^{2} - 2 m n y + n^{2} - 2 = 0$，设$A ( x_{1} , \ y_{1} ) , \ B ( x_{2} , \ y_{2} )$．可得$\triangle > 0$，设线段AB的中点$\mathrm{P} ( \mathrm{x}_{0} , \mathrm{y}_{0} )$，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线$\mathrm{y} = \mathrm{m x} + \frac{1}{2}$，可得$\mathrm{n} = - \frac{\mathrm{m}^{2} + 2}{2 \mathrm{m}}$，代入$\triangle > 0$，即可解出．

（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得$S_{\Delta \mathrm{O A B}} = \frac{1}{2} | n | \mid y_{1} - y_{2} \mid$，再利用均值不等式即可得出

解答

解：（1）由题意，可设直线AB的方程为$\mathrm{x} = - \mathrm{m y} + \mathrm{n}$，代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$，可得$( m^{2} + 2 ) y^{2} - 2 \mathrm{m n y} + n^{2} - 2 = 0$，

设$A ( x_{1} , y_{1} )$，B$( x_{2} , y_{2} )$．由题意，$\Delta = 4 \mathrm{m}^{2} \mathrm{n}^{2} - 4 ( \mathrm{m}^{2} + 2 ) ( \mathrm{n}^{2} - 2 ) = 8 ( \mathrm{m}^{2} - \mathrm{n}^{2} + 2 ) > 0$，

设线段AB的中点$\mathrm{P} ( \mathrm{x}_{0} , \mathrm{y}_{0} )$，则$y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = \frac{\mathrm{m n}}{\mathrm{m}^{2} + 2}$，$\mathrm{x}_{0} = - \mathrm{m} \times \frac{\mathrm{m n}}{\mathrm{m}^{2} + 2} + \mathrm{n} = \frac{2 \mathrm{n}}{\mathrm{m}^{2} + 2}$，

由于点P在直线$\mathrm{y} = \mathrm{m x} + \frac{1}{2}$上，$\therefore \frac{\mathrm{m n}}{\mathrm{m}^{2} + 2} = \frac{2 \mathrm{m n}}{\mathrm{m}^{2} + 2} + \frac{1}{2}$，

$\therefore n = - \frac{m^{2} + 2}{2 m}$，代入$\triangle > 0$，可得$3 \mathrm{m}^{4} + 4 \mathrm{m}^{2} - 4 > 0$，

解得$\mathrm{m}^{2} > \frac{2}{3}$，$\therefore \mathrm{m} < - \frac{\sqrt{6}}{3}$或$\mathrm{m} > \frac{\sqrt{6}}{3}$

（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，

$\therefore \mathrm{S}_{\Delta \mathrm{O A B}} = \frac{1}{2} | \mathrm{n} | | \mathrm{y}_{1} - \mathrm{y}_{2} | = \frac{1}{2} | \mathrm{n} | \bullet \frac{\sqrt{8 ( \mathrm{m}^{2} - \mathrm{n}^{2} + 2 )}}{\mathrm{m}^{2} + 2} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\mathrm{n}^{2} ( \mathrm{m}^{2} - \mathrm{n}^{2} + 2 )}{( \mathrm{m}^{2} + 2 )^{2}}}$，

由均值不等式可得：$n^{2} ( \mathrm{m}^{2} - n^{2} + 2 ) \leqslant ( \frac{\mathrm{n}^{2} + \mathrm{m}^{2} - \mathrm{n}^{2} + 2}{2} )^{2} = \frac{( \mathrm{m}^{2} + 2 )^{2}}{4}$，

$\therefore \mathrm{S}_{\Delta \mathrm{A O B}} \leqslant \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$n^{2} = m^{2} - n^{2} + 2$，即$2 \mathrm{n}^{2} = \mathrm{m}^{2} + 2$，又$\because n = - \frac{m^{2} + 2}{2 m}$，解得

$\mathrm{m} = \pm \sqrt{2}$，当且仅当$\mathrm{m} = \pm \sqrt{2}$时，$\mathrm{S_{\Delta A O B}}$取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$