浙江 2015 · 数学 q18

题面

18．（15分）（2015•浙江）已知函数${\mathrm{f}} \left( {\mathrm{x}} \right) \ = {\mathrm{x^{2} + a x + b}} \left( {\mathrm{a}} , \ \mathrm{b \in{\mathrm{R}}} \right)$），记 M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值

（1）证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值

解析

分析

（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；

（2）讨论$a = b = 0$以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1 且$- \ 3 {\leq}{b} \ - \ {a}{\leq}{l}$，进一步求出|a|+|b|的求值

解答

解：（1）由已知可得$\mathrm{f} ( 1 ) = 1 + \mathrm{a} + \mathrm{b}$，f（﹣1）$= 1 - a + b$，对称轴为$x {=} - \frac{\bar{a}}{2} ,$

因为$\bar{\rho}_{| a | \geq 2}$，所以$- \frac{\bar{\alpha}}{2} \ll - 1 \frac{\mp \sqrt{\chi}}{2} - \frac{\bar{\alpha}}{2} \vert$

所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，

所以 M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）

$\left| \right\} = \max \left\{\left| 1 + a + b \right|, \left| 1 - a + b \right| \right\},$

所以M ( a , b ) \geq \frac{1}{2} ( | 1 {+} a {+} b | {+} | 1 - a {+} b | ) {\geq} \frac{1}{2} | ( 1 {+} a {+} b )$$- ( 1 - a + b ) \vert \geq \frac{1}{2} \vert 2 a \vert \geq 2 ;

（2）当$a = b = 0$时，$| a | + | b | {=} 0$又$| a | + | b | {\geq} 0$，所以0为最小值，符合题意；

又对任意x∈[﹣1，1]．有$- \ 2 \leq x^{2} + a x + b \leq 2$得到$- 3 \leq a + b \leq 1$且$- \ 3 {\leq}{b} \ - \ {a}{\leq}{l}$，易知| a | + | b | {=} m a x \{| a$$- \left. b \right| , \left. \left| a + b \right| \right\} = 3，在${b} = - \mathrm{1} , \mathrm{a}{=} 2$时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为 3