浙江 2015 · 数学 q14

题面

14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足$x^{2} + y^{2}{\leq} 1$，则$| 2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 | + | 6 - \mathrm{x} - 3 \mathrm{y} |$的最小值是

答案

3

解析

分析

根据所给x，y的范围，可得$\lvert 6 - \mathrm{x} - 3 \mathrm{y} \rvert = 6 - \mathrm{x} - 3 \mathrm{y}$，再讨论直线$2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 {=} 0$将圆$x^{2} + y^{2}{=} 1$分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值

解答

解：由$x^{2} + y^{2} \le 1$，可得$6 - {x} - 3 {y} > 0$，即$| 6 - \mathrm{{x}} - 3 \mathrm{{y}} | = 6 - \mathrm{{x}} - 3 \mathrm{{y}}$

如图直线$2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 {=} 0$将圆$x^{2} + y^{2} = 1$分成两部分，

在直线的上方（含直线），即有$2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 {\geq} 0$，即$| 2 + y - 2 | = 2 x + y - 2$

此时$| 2 x + y - 2 | + | 6 - x - 3 y | = ( 2 x + y - 2 ) + ( 6 - x - 3 y ) = x - 2 y + 4$，

利用线性规划可得在$A ( \frac{3}{5} , \ \frac{4}{5} )$处取得最小值3；

在直线的下方（含直线），即有$2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 {\leq} 0$

即$\vert 2 + y - 2 \vert = - ( 2 x + y - 2 )$，

此时$| 2 x + y - 2 | + | 6 - x - 3 y | = - ( 2 x + y - 2 ) + ( 6 - x - 3 y ) = 8 - 3 x - 4 y$，

利用线性规划可得在$A ( \frac{3}{5} , \ \frac{4}{5} )$处取得最小值3

综上可得，当$\mathrm{x} = \frac{3}{5} , \mathrm{y} = \frac{4}{5}$时，$| 2 \mathrm{x} + \mathrm{y} - 2 | + | 6 - \mathrm{x} - 3 \mathrm{y} |$的最小值为3

故答案为：3