浙江 2015 · 数学 q10

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2015 · 数学 q10 原卷截图（含答案）

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题面

10．（6分）（2015•浙江）已知函数f(x)={x+2x−3,x⩾1lg⁡(x2+1),x<1f ( x ) = \left\{\begin{array}{l l}{x + \frac{2}{x} - 3 , x \geqslant 1} \\ {\lg ( x^{2} + 1 ) , x < 1} \end{array} \right.，则f（f（﹣3））=

f（x）的最小值是

答案

0；22−32 \sqrt{2} - 3

解析

分析

根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f(x)=x+2x−3f ( x ) = x + \frac{2}{x} - 3，当x＜1时，f(x)=lg⁡(x2+1)f ( x ) = \lg ( x^{2} + 1 )，分别求出每段函数的取值范围，即可求解

解答

解：∵f(x)={x+2x−3,x⩾1lg⁡(x2+1),x<1\because f ( x ) = \left\{\begin{array}{l l}{x + \frac{2}{x} - 3 , x \geqslant 1} \\ {\lg ( x^{2} + 1 ) , x < 1} \end{array} \right.

∴f（﹣3）=lg10=1= \mathrm{lg} 1 0 = 1，

则f(f(−3))=f(1)=0f ( f ( - 3 ) ) = f ( 1 ) = 0，

当 x≥1 时，f(x)=x+2x−3≥22−3f ( x ) = x + \frac{2}{x} - 3 \geq 2 \sqrt{2} - 3，即最小值22−32 \sqrt{2} - 3，

当 x＜1 时，x2+1≥1,(x)=lg⁡(x2+1)≥0x^{2} + 1 \geq 1 , ( x ) = \lg ( x^{2} + 1 ) \geq 0最小值 0，

故f（x）的最小值是22−32 \sqrt{2} - 3

故答案为：0；22−32 \sqrt{2} - 3