浙江 2015 · 数学 q07

题面

7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ） A．$f ( \sin 2 x ) = \sin x$ B．$f ( \sin 2 x ) = x^{2} + x$ C．$f ( x^{2} + 1 ) = | x + 1 |$ D．$f ( x^{2} + 2 x ) = | x + 1 |$

答案

D

解析

分析

利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可

解答

解：A．取x=0，则$\sin 2 x = 0$，∴f（0）=0；

取$x = \frac{\pi}{2}$，则$\sin 2 x = 0$，∴f（0）=1；

∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；

∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有$f ( \sin 2 x ) = \sin x$；

B．取 x=0，则$f ( 0 ) = 0$；

取 x=π，则$f ( 0 ) = \pi^{2} + \pi$；

∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；

∴该选项错误；

C．取 x=1，则$f ( 2 ) = 2$，取$x = - 1$，则$f ( 2 ) = 0$；

这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；

∴该选项错误；

D．令$\vert x + 1 \vert = t , t \geq 0$，则$f ( t^{2} - 1 ) = t$；

令$t^{2} - 1 = x$，则$t = \sqrt{x + 1}$；

∴$f ( x ) = \sqrt{x + 1}$；

即存在函数$f ( x ) = \sqrt{x + 1}$，对任意x∈R，都有$f ( x^{2} + 2 x ) = \lvert x + 1 \rvert$；

∴该选项正确

故选：D