浙江 2012 · 数学 q22

题面

22.（本题满分14分）已知 $a > 0$ ， $b\in R$ ，函数 $f(x) = 4ax^{3} - 2bx - a + b$

（I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，

(i) 函数 $f(x)$ 的最大值为 $\left|2a-b\right|+a$ ;

(ii) $f(x) + |2a - b| + a \geq 0$ ;

（Ⅱ）若 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对 $x \in[0,1]$ 恒成立，求 $a + b$ 的取值范围.

$(\mathrm{I}) (\mathrm{i}) f^{\prime} (x) = 1 2 a x^{2} - 2 b = 1 2 a (x^{2} - \frac{b}{6 a})$

当 $b \leq 0$ 时，有 $f'(x) \geq 0$，此时 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增

所以当 $0 \leq x \leq 1$ 时，

$f (x)_{\max} = \max \{f (0), f (1) \} = \max \{- a + b, 3 a - b \} = \left\{\begin{array}{l} 3 a - b, b \leq 2 a \\ - a + b, b > 2 a \end{array} = | 2 a - b | + a \right.$

(ii) 由于 $0 \leq x \leq 1$，故

当 $b \leq 2a$ 时，

$f (x) + | 2 a - b | + a = f (x) + 3 a - b = 4 a x^{3} - 2 b x + 2 a \geq 4 a x^{3} - 4 a x + 2 a = 2 a (2 x^{3} - 2 x + 1)$

当 $b > 2a$ 时，

$f (x) + | 2 a - b | + a = f (x) - a + b = 4 a x^{3} + 2 b (1 - x) - 2 a > 4 a x^{3} + 4 a (1 - x) - 2 a = 2 a (2 x^{3} - 2 x + 1)$

设 $g(x) = 2x^{3} - 2x + 1,0\leq x\leq 1$ ，则

$g^{\prime} (x) = 6 x^{2} - 2 = 6 (x - \frac{\sqrt{3}}{3}) (x + \frac{\sqrt{3}}{3}),$

于是

所以， $g(x)_{\mathrm{min}} = g(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 - \frac{4\sqrt{3}}{9} >0,$

所以

$\text{当} 0 \leq x \leq 1 \text{时,} 2 x^{3} - 2 x + 1 > 0$

$\text{故} f (x) + \mid 2 a - b \mid + a = f (x) - a + b \geq 2 a (2 x^{3} - 2 x + 1) \geq 0$

（Ⅱ）由（i）知，当 $0 \leq x \leq 1$ ，$f(x)_{\max} = |2a - b| + a$ ，所以

$\mid 2 a - b \mid + a \leq 1$

若 $|2a-b|+a\leq1$ ，则由（ii）知

$f (x) \geq - (| 2 a - b | + a) \geq - 1$

所以 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对任意 $0 \leq x \leq 1$ 恒成立的充要条件是

$\left\{\begin{array}{l} | 2 a - b | + a \leq 1 \\ a > 0 \end{array} , \right.$

即 $\left\{\begin{aligned}&2a-b\geq0\\ &3a-b\leq1\\ &a>0\end{aligned}\right.$ ，或 $\left\{\begin{aligned}&2a-b<0\\ &b-a\leq1\\ &a>0\end{aligned}\right.$ （1）

在直角坐标系 $aOb$ 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段 $BC$ ，

作一组平行直线 $a + b = t(t\in R)$ ，得

$- 1 < a + b \leq 3.$

所以的取值范围是 $(-1,3]$ .