浙江 2012 · 数学 q21

题面

21.（本题满分15分）如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分。（I）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）求 $\Delta ABP$ 面积取最大值时直线 l 的方程.

(第21题图)

（I）设椭圆左焦点为 $F(-c,0)$ ，则由题意得

$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{(2 + c) + 1} = \sqrt{1 0} \\ \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \end{array} , \right.$

$\text{得} \left\{\begin{array}{l} c = 1 \\ a = 2 \end{array} \right.$

所以椭圆方程为

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1.$

（Ⅱ）设 $A(x_{1},y_{1})$ ， $B(x_{2},y_{2})$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M$ ：

当直线 $AB$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $AB$ 的方程为 $x = 0$ ，与不过原点的条件不符，舍去.故可设直线 $AB$ 的方程为

$y = k x + m (m \neq 0),$

由 $\left\{\begin{array}{l} y = kx + m \\ 3x^2 + 4y^2 = 12 \end{array} \right.$ 消去 $y$，整理得

(3 + 4 k^{2}) x^{2} + 8 k m x + 4 m^{2} - 1 2 = 0,\tag{1}

则

$\Delta = 6 4 k^{2} m^{2} - 4 (3 + 4 k^{2}) (4 m^{2} - 1 2) > 0, \left\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{8 k m}{3 + 4 k^{2}} \\ x_{1} x_{2} = \frac{4 m^{2} - 1 2}{3 + 4 k^{2}} \end{array} \right.$

所以 AB 线段的中点 $M(-\frac{8km}{3+4k^{2}},\frac{4m^{2}-12}{3+4k^{2}})$ ,

因为 $M$ 在直线 $OP$ 上，所以

$\frac{3 m}{3 + 4 k^{2}} = \frac{- 2 k m}{3 + 4 k^{2}},$

得

$m = 0$ （舍去）或 $k = -\frac{3}{2}$

此时方程（1）为 $3x^{2}-3mx+m^{2}=0$ ，则

$\Delta = 3 (1 2 - m^{2}) > 0, \quad \left\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = \frac{m^{2} - 3}{3} \end{array} \right.$

所以

$\mid A B \mid = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \mid x_{1} - x_{2} \mid = \frac{\sqrt{3 9}}{6} \cdot \sqrt{1 2 - m^{2}},$

设点 P 到直线 AB 距离为 d，则

$d = \frac{\mid 8 - 2 m \mid}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{2 \mid m - 4 \mid}{\sqrt{1 3}},$

设 $\Delta ABP$ 的面积为 $S$ ，则

$S = \frac{1}{2} \mid A B \mid \cdot d = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{(m - 4)^{2} (1 2 - m^{2})},$

其中 $m \in (-2\sqrt{3}, 0) \cup (0, 2\sqrt{3})$ ,

$\text{令} u (m) = (1 2 - m^{2}) (m - 4)^{2}, \quad m \in[- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$

$u^{\prime} (m) = - 4 (m - 4) (m^{2} - 2 m - 6) = - 4 (m - 4) (m - 1 - \sqrt{7}) (m - 1 + \sqrt{7}),$

所以当且仅当 $m = 1 - \sqrt{7}$，$u(m)$ 取到最大值，

故当且仅当 $m = 1 - \sqrt{7}$，$S$ 取到最大值.

综上，所求直线 l 方程为 $3x + 2y + 2\sqrt{7} - 2 = 0$ .