浙江 2012 · 数学 q18

题面

18.(本题满分14分)在 $\Delta ABC$ 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 $\cos A=\frac{2}{3}$ , $\sin B = \sqrt{5} \cos C$ .

（I）求 $\tan C$ 的值；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $\Delta ABC$ 的面积.

（I）因为 $0 < A < \pi$ ， $\cos A = \frac{2}{3}$ ，得

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

又 \sqrt{5}\cos C = \sin B = \sin (A + C)$$= \sin A\cos C + \cos A\sin C$$= \frac{\sqrt{5}}{3}\cos C + \frac{2}{3}\sin C

所以 $\tan C = \sqrt{5}$

（II）由 $\tan C = \sqrt{5}$ ，得

$\sin C = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}, \cos C = \frac{1}{\sqrt{6}},$

于是

$\sin B = \sqrt{5} \cos C = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.$

由 $a = \sqrt{2}$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，得

$c = \sqrt{3}.$

设 $\Delta ABC$ 的面积为 $S$ ，则

$S = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{\sqrt{5}}{2}.$