浙江 2008 · 数学 q20

题面

(20)（本题15分）已知曲线C是到点 $\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y = -\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹。 $\ell$ 是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在 $\ell$ 上）的动点；A、B在 $\ell$ 上， $MA\perp \ell ,MB\perp x$ 轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线 C 的方程；

（Ⅱ）求出直线 $\ell$ 的方程，使得 $\frac{|QB|^2}{|QA|}$ 为常数。

（Ⅰ）解：设 $N(x, y)$ 为C上的点，则

$\mid N P \mid = \sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{3}{8}\right)^{2}}$

N 到直线 $y = -\frac{5}{8}$ 的距离为 $\left| y + \frac{5}{8} \right|$ .

由题设得 $\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{8}\right)^2} = \left|y + \frac{5}{8}\right|$.

化简，得曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{2} (x^2 + x)$.

（Ⅱ）解法一：

设 $M\left(x, \frac{x^2 + x}{2}\right)$，直线 $l: y = kx + k$，则

$B(x, kx + k)$ ，从而 $\left|QB\right| = \sqrt{1 + k^{2}} \left|x + 1\right|$ .

在 Rt△QMA 中，因为

$\mid Q M \mid^{2} = (x + 1)^{2} \left(1 + \frac{x^{2}}{4}\right),$

$\mid M A \mid^{2} = \frac{(x + 1)^{2} \left(k - \frac{x}{2}\right)^{2}}{1 + k^{2}}.$

所以 $|QA|^2 = |QM|^2 - |MA|^2 = \frac{(x + 1)^2}{4(1 + k^2)} (kx + 2)^2$ .

$\mid Q A \mid = \frac{\mid x + 1 \mid \bullet \mid k x + 2 \mid}{2 \sqrt{1 + k^{2}}},$

$\frac{| Q B |^{2}}{| Q A |} = \frac{2 (1 + k^{2}) \sqrt{1 + k^{2}}}{| k |} \cdot \left| \frac{x + 1}{x + \frac{2}{k}} \right|.$

当 $k = 2$ 时， $\frac{|QB|^2}{|QA|} = 5\sqrt{5}$

从而所求直线 l 方程为 $2x - y + 2 = 0$ .

解法二：设 $M\left(x, \frac{x^2 + x}{2}\right)$，直线 $l: y = kx + k$，则 $B(x, kx + k)$，从而

$\mid Q B \mid = \sqrt{1 + k^{2}} \mid x + 1 \mid$

过 $Q(-1,0)$ 垂直于 $l$ 的直线 $l_{1}:y = -\frac{1}{k} (x + 1)$

因为 $|QA|=|MH|$ ，所以 $|QA|=\frac{|x+1|\bullet|kx+2|}{2\sqrt{1+k^{2}}}$ ，

$\frac{\left| Q B \right|^{2}}{\left| Q A \right|} = \frac{2 (1 + k^{2}) \sqrt{1 + k^{2}}}{\left| k \right|} \cdot \left| \frac{x + 1}{x + \frac{2}{k}} \right|.$

当 $k = 2$ 时， $\frac{|QB|^2}{|QA|} = 5\sqrt{5}$

从而所求直线 l 方程为 $2x - y + 2 = 0$ .