浙江 2008 · 数学 q19

题面

(19)（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$。（I）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$。（II）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为 x，则 $P(A)=1-\frac{C_{10-x}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{9}$ ，

得到x=5.

故白球有 5 个.

(ii) 随机变量 $\xi$ 的取值为 0, 1, 2, 3, 分布列是

$\xi$ 的数学期望

$E \xi = \frac{1}{1 2} \times 0 + \frac{5}{1 2} \times 1 + \frac{5}{1 2} \times 2 + \frac{1}{1 2} \times 3 = \frac{3}{2}.$

（Ⅱ）证明：设袋中有 $n$ 个球，其中 $y$ 个黑球，由题意得 $y = \frac{2}{5} n$

所以 $2y < n$ ， $2y \leqslant n - 1$ ，故 $\frac{y}{n - 1} \leqslant \frac{1}{2}$.

记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件 $B$ ，则

$P (B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{y}{n - 1}$

$\leqslant \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{1 0}.$

所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 $\frac{2}{5} n$ ，红球的个数少于 $\frac{n}{5}$

故袋中红球个数最少.