浙江 2008 · 数学 q18

题面

(18)(本题14分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互

相垂直，BE//CF，$\angle BCF = \angle CEF = 90^{\circ}, AD = \sqrt{3}, EF = 2$。

（Ⅰ）求证：AE//平面 DCF;

(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为 $60^{\circ}$ ?

方法一：

（Ⅰ）证明：过点 E 作 $EG \perp CF$ 交 CF 于 G，连结 DG，可得四边形 BCGE 为矩形， 又 ABCD 为矩形， 所以 $AD \parallel EG$ ，从而四边形 ADGE 为平行四边形， 故 $AE \parallel DG$ . 因为 $AE \not\subset$ 平面 DCF， $DG \subset$ 平面 DCF， 所以 $AE \parallel$ 平面 DCF.

（Ⅱ）解：过点 B 作 $BH \perp EF$ 交 FE 的延长线于 H，连结 AH. 由平面 $ABCD \perp$ 平面 BEFC， $AB \perp BC$ ，得 $AB \perp$ 平面 BEFC， 从而 $AH \perp EF$ . 所以 $\angle AHB$ 为二面角 A - EF - C 的平面角.

在 Rt△EFG 中，因为 $EG = AD = \sqrt{3}$ ，EF = 2，所以 $\angle CFE = 60^{\circ}$ ，FG = 1。

又因为 $CE \perp EF$，所以 $CF = 4$，从而 $BE = CG = 3$。

于是 $BH = BE \cdot \sin \angle BEH = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$A B = B H \cdot \tan \angle A H B$

所以当 $AB$ 为 $\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A - EF - C$ 的大小为 $60^{\circ}$

方法二：如图，以点 C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C-xyz.

设 AB = a, BE = b, CF = c,

则 $C(0,0,0)$，$A(\sqrt{3},0, a)$，$B(\sqrt{3},0,0)$，$E(\sqrt{3}, b,0)$，$F(0, c,0)$.

（I）证明： $\overrightarrow{AE}=(0,\ b,-a)$ ， $\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},0,0)$ ， $\overrightarrow{BE}=(0,\ b,\ 0)$ ， 所以 $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CE}=0$ ， $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BE}=0$ ，从而 $CB\perp AE$ ， $CB\perp BE$ ，

所以 $CB \perp$ 平面 $ABE$.

因为 $CB \perp$ 平面 DCF，

所以平面 $ABE \parallel$ 平面 DCF.

故 $AE \parallel$ 平面 DCF.

（Ⅱ）解：因为 $\overrightarrow{EF}=(-\sqrt{3},\quad c-b,\quad0)$ ， $\overrightarrow{CE}=(\sqrt{3},\quad b,\quad0)$ ，

所以 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CE} = 0$，$|\overrightarrow{EF}| = 2$，从而

$\left\{\begin{array}{l} - 3 + b (c - b) = 0, \\ \sqrt{3 + (c - b)^{2}} = 2, \end{array} \right.$

解得 $b = 3, c = 4$.

所以 $E(\sqrt{3},3,0)$ ， $F(0,4,0)$ .

设 $n = (1, y, z)$ 与平面 $AEF$ 垂直，

则 $n \cdot \overrightarrow{AE} = 0$ ， $n \cdot \overrightarrow{EF} = 0$ ，

解得 $n = (1, \sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{a})$.

又因为 $BA \perp$ 平面 BEFC， $\overrightarrow{BA} = (0,0, a)$ ，

所以 $|\cos < n, \overrightarrow{BA} >| = \frac{|\overrightarrow{BA} \cdot n|}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |n|} = \frac{3\sqrt{3}a}{a\sqrt{4a^2 + 27}} = \frac{1}{2}$,

得到 $a=\frac{9}{2}$ .

所以当 $AB$ 为 $\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A - EF - C$ 的大小为 $60^{\circ}$.